Правило возведения в дробь

Правило возведения в дробь

Глава I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ

Целы изучить умножение дробей и возведение их в степень.

II. Изучение нового материала (основные понятия)

При умножении обыкновенных дробей получается дробь, числитель которой равен произведению числителей дробей, а знаменатель — произведению знаменателей. Например По тому же правилу находят и произведения рациональных дробей, т. е. при любых допустимых значениях переменных (т. е. при b ≠ 0 и d ≠ 0). Докажем это равенство.

Пусть (очевидно, что b ≠ 0 и d ≠ 0). Почленно умножим эти равенства и получим . Из равенства a / b = m по определению частного имеем а = bm , из равенства c / d = n получаем с = dn . Также почленно умножим равенства а = bm и с = dn и получим Выразим из этого равенства mn = ac / bd . Сравнивая два равенства и имеем тождество (при b ≠ 0 и d ≠ 0), из которого следует правило умножения дробей. Чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первое произведение записать числителем, второе — знаменателем дроби.

Умножим дроби

Используя правило умножения дробей, получаем:

Умножим дроби

Воспользуемся правилом умножения дробей. Затем числитель первой дроби и знаменатель второй дроби разложим на множители и сократим получившуюся дробь. Имеем:

Представим произведение дробей в виде рациональной дроби.

Используем правило умножения дробей. В числителе и знаменателе получившейся дроби умножим многочлены. Тогда получим:

Умножим дробь и многочлен х2 – у2.

Как и при сложении (вычитании) дробей, представим многочлен в виде дроби со знаменателем 1 и воспользуемся правилом умножения дробей.

Имеем:

Правило умножения дробей, разумеется, справедливо для произведения любого числа перемножаемых дробей.

Найдем произведение дробей

Используем правило умножения дробей и получим:

Теперь рассмотрим возведение дроби в степень. При возведении обыкновенной дроби в степень ее числитель и знаменатель возводят в эту степень. Например: Такое же правило справедливо и в случае рациональной дроби: Докажем это.

По определению степени имеем Используем правило умножения дробей и определение степени, получим: Итак, Из доказанного тождества следует правило возведения дроби в степень. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби и первый результат записать в числителе, второй — в знаменателе дроби.

Возведем дробь в четвертую степень.

Используем правило возведения дроби в степень и учтем свойства степеней. Получаем:

Возведем в квадрат дробь

Используем формулы сокращенного умножения и сначала сократим дробь: Теперь возведем в квадрат эту дробь. Для этого возведем в квадрат ее числитель и знаменатель (правило возведения дроби в степень). Получаем:

III. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте правило умножения дробей.

2. Докажите правило умножения дробей.

3. Как возвести дробь в степень?

4. Докажите правило возведения дроби в степень.

IV. Задание на уроке

№ 108 (а, г); 109 (а); 111 (б); 112 (в); 114 (а); 115 (а); 117 (а, д); 118 (а, д); 119 (а, б); 121 (а); 122 (б); 125 (б, г).

V. Задание на дом

№ 108 ( e ); 110 (в); 111 (а); 112(6); 113 (г); 114 (б); 115 (г); 117 (в); 118 (г); 119 (в, г); 121 (6); 123 (а); 124 (г); 126 (а, в).

www.compendium.su

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Цель: Изучить умножение дробей и возведение их в степень.

I. Сообщение темы и цели урока

П. Изучение нового материала (основные понятия)

При умножении Обыкновенных дробей получается Дробь, числитель

Которой Равен произведению числителей Дробей, а Знаменатель

Произведению знаменателей. Например——— =——- = — . По тому же

Правилу Находят и Произведения рациональных дробей, Т. е.——————- = — при

Ь D Bd Любых допустимых значениях переменных (т. е. при B ф 0 и D* 0). Докажем это равенство.

Пусть — = M И — = П (очевидно, что B ф 0 и D ф 0). Почленно умножим

Эти равенства и получим —*— = /ww. Из равенства — = ш По определению

С Частного имеем А = Bm, Из равенства — = П Получаем С = Dn. Также почленно

Выразим из этого равенства Тп = —, Сравнивая два равенства — — = Тп

И — = тп, Имеем тождество——— = — (при B Ф 0 и D Ф 0), из которого

Следует Правило умножения дробей. Чтобы Умножить дробь на дробь, Надо

Перемножить их числители И Перемножить их знаменатели. Первое

Произведение Записать Числителем, второе — знаменателем Дроби.

_ 12а3 \%А Умножим дроби —J — и 6 .

12л3 15£4 Используя правило умножения дробей, получаем:

Умножим дроби ———- и

Воспользуемся правилом умножения дробей. Затем числитель первой

Дроби и знаменатель второй дроби разложим на множители и сократим

За 4а — Ь* За(4а* — Ь )

Представим произведение дробей——— и———- в виде рациональной

Используем правило умножения дробей. В числителе и знаменателе

Получившейся дроби умножим многочлены. Тогда получим:

Умножим дробь——— и многочлен Х — у .

Как и при сложении (вычитании) дробей, представим Многочлен в виде Дроби Со Знаменателем 1 И воспользуемся правилом умножения дробей.

Правило умножения дробей, Разумеется, Справедливо для Произведения Любого числа Перемножаемых Дробей.

III. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте правило умножения дробей.

2. Докажите правило умножения дробей.

3. Как возвести дробь в степень?

4. Докажите правило возведения дроби в степень.

№ 108 (а, г); 109 (а); 111 (б); 112 (в); 114 (а); 115 (а); 117 (а, д); 118 (а, д); 119 (а, б); 121 (а); 122(6); 125(6, г).

V. Задание на дом

№ 108(e); ПО (в); 111 (а); 112 (б); 113 (г); 114 (б); 115 (г); 117 (в); 118 (г); 119 (в, г); 121(6); 123(a); 124 (г); 126 (а, в).

www.testsoch.com

Степень с отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

Если в показателе степени стоит десятичная дробь, нужно перевести ее в обыкновенную:

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

8 комментариев

Спасибо! врубился) жаль, что в школе не учился(

Что ж, учиться никогда не поздно). Но всё же лучше вовремя.

Забавно, что за время работы встречал множество коллег, кому приходилось на внутренних курсах разжёвывать какие вещи начального уровня и все сокрушались: «Что же я в школе-то (институте) не учил это? Это же так просто, понятно, полезно и ИНТЕРЕСНО. »

А вся проблема в том, что ни в школе, ни в институте перед тем, как что-то начать рассказывать не проводят красочные, завлекательные, познавательные, весёлые и игровые презентации будущего курса, чтобы было понятно, а где же то, что будем скоро изучать, применяется в жизни? Каким профессиям и в каких житейских ситуациях это может быть полезно?

Учат каким-то абстрактным формулам вместо того, чтобы рассказать, что это пригодится на кухне, при разделе земли, при строительстве сарая на даче, при стрельбе из пушки, при запуске спутника и т. д.

При разбавлении спирта водой, в конце концов! :))

Ведь часто женщины встают в ступор от элементарной задачи:

В рецепте указано «1 ст. ложка 3 %-го уксуса», а у неё на кухне только 9 % или («О, БОЖЕ! Крах! Провал!») вообще уксусная эссенция! А по сути та же кислота, но в концентрации 70 %…

www.algebraclass.ru

Возведение алгебраической дроби в степень: правило, примеры

Тема сводится к тому, что нам необходимо производить умножение одинаковых дробей. Данная статья расскажет, какое необходимо использовать правило, чтобы верно возводить алгебраические дроби в натуральную степень.

Правило возведения алгебраической дроби в степень, его доказательство

Перед тем, как начать возводить в степень, необходимо углубить знания при помощи статьи про степень с натуральным показателем, где имеется произведение одинаковых множителей, которые находятся в основании степени, причем их количество определено показателем. К примеру, число 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

При возведении в степень чаще всего используем правило. Для этого в отдельности возводят в степень числитель и отдельно знаменатель. Рассмотрим на примере 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Правило применимо для возведения дроби в натуральную степень.

При возведении алгебраической дроби в натуральную степень получаем новую, где числитель имеет степень исходной дроби, а знаменатель – степень знаменателя. Это все имеет вид a b n = a n b n , где а и b являются произвольными многочленами, b является ненулевым, а n натуральным числом.

Доказательство данного правила записывается в виде дроби, которую необходимо возвести в степень, основываясь на самом определении с натуральным показателем. Тогда получаем умножение дробей вида a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n

Примеры, решения

Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель , потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.

Произвести возведение дроби x 2 3 · y · z 3 в квадрат.

Необходимо зафиксировать степень x 2 3 · y · z 3 2 . По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида

x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 2 · 2 3 2 · y 2 · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что

x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Ответ: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .

Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения.

Возвести дробь 2 · x — 1 x 2 + 3 · x · y — y в квадрат.

Из правила имеем, что

2 · x — 1 x 2 + 3 · x · y — y 2 = 2 · x — 1 2 x 2 + 3 · x · y — y 2

Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых в знаменателе, а в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим:

2 · x — 1 2 x 2 + 3 · x · y — y 2 = = 2 · x 2 — 2 · 2 · x · 1 + 1 2 x 2 2 + 3 · x · y 2 + — y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · ( — y ) + 2 · 3 · x · y · — y = = 4 · x 2 — 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y — 2 · x 2 · y — 6 · x · y 2

Ответ: 2 · x — 1 2 x 2 + 3 · x · y — y 2 = 4 · x 2 — 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y — 2 · x 2 · y — 6 · x · y 2

Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь. Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.

www.zaochnik.com

Как возводить в дробную степень?

Иногда в математике необходимо возвести число в степень, которая представляет собой дробь. О том, как возвести число в дробную степень, расскажет наша статья, и Вы увидите, что это очень просто.

Число в дробной степени очень редко представляет собой целое число. Часто результат такого возведения можно представить с определенной долей точности. Поэтому, если не указана точность вычисления, то находят те значения, которые вычисляются с точностью до целых, а те, которые имеют большое количество знаков после десятичной запятой, оставляют с корнями. Например, кубический корень из семи или квадратный корень из двух. В физике вычисленные значений этих корней округляют до сотых, когда не нужна иная степень точности.

Алгоритм решения

  1. Преобразовываем дробный показатель в неправильную или правильную дробь. Часть неправильной дроби, которая является целым, выделять не стоит. Если дробная степень представлена как целая и дробная часть, то ее необходимо перевести в неправильную дробь
  2. Вычисляем значение степени данного числа, которая равна числителю правильной или неправильной дроби
  3. Вычисляем корень полученного в пункте 2 числа, показателем которого берем знаменатель нашей дроби

Приведем примеры таких вычислений

Также для этих вычислений Вы можете скачать калькулятор себе на компьютер или использовать он-лайн калькуляторы, которых очень много в сети Интернет, например:

Теперь Вы знаете, как возводить в дробную степень любые числа!

elhow.ru

Популярное:

  • 1824 год кто правил в россии Этот день в истории: 1824 год. 19 ноября (7 ноября ст.ст.) в Санкт-Петербурге случилось самое крупное наводнение за историю города , 19 ноября 2009, 19:53 — REGNUM 7 ноября 1824 года на площади у Большого театра. Ф.Я. Алексеев. […]
  • Правила доменов Правила регистрации доменных имен в доменах RU и РФ Правила регистрации доменных имен в доменах .RU и .РФ Правила регистрации доменных имен в доменах .RU и .РФ (именуемые в дальнейшем «Правила») регулируют отношения, […]
  • Т О Осаго Сколько будет стоить ОСАГО на Т-34? Законодательство об ОСАГО постоянно меняется, а требование об обязательном страховании гражданской ответственности остается. Более того, периодически меняются коэффициенты и базовые ставки. […]
  • Застраховать осаго тольятти ОСАГО в Тольятти от 3000 Страхование: транспорта (ОСАГО, КАСКО), имущества, жизни. Диагностическая карта. Юридическая помощь. Выкуп дтп. Кого мы страхуем по ОСАГО: Категории : A B C D E Стаж меньше 3-х лет. Возраст меньше […]
  • Постоянное пребывание людей Являются ли тренерские помещениями с постоянным пребыванием людей? Thượng Tá Quân Đội Nhân Dân Việt Nam На "арене" работают клоуны, а не тренеры, да и то меньшую часть рабочего времени. О том, что тренер в кабинете "спит" […]
  • Список правил iptables 21 пример использования iptables для администраторов. Файрвол в системе linux контролируется программой iptables (для ipv4) и ip6tables (для ipv6). В данной шпаргалке рассмотрены самые распространённые способы использования […]
  • Когда оформляется осаго Минимальный срок страховки ОСАГО ОСАГО — это полис обязательного страхования гражданской ответственности для владельцев транспортных средств (ТС). С помощью ОСАГО можно возместить ущерб, который был причинен автомобилю и другим […]
  • Замена унитаза заявление Заявление на установку счётчиков воды Как ни странно, но многих интересует, что нужно для того, чтобы произвести установку или замену приборов учета воды, какое заявление нужно писать и куда, в ДЕЗ, ЕИРЦ или другую управляющую […]