Точка движется по закону x 2-3t+t

Урок–зачет по теме «Применение производной» (10–11-е классы)

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Проверить усвоение стандартного материала каждым учеником и оказание помощи учащимся по ликвидации пробелов в процессе личного общения на уроке;
  • Учить применять знания при решении базовых и нестандартных задач;
  • Показать широкий спектр применения производной.

Оборудование урока: таблички с названием раздела (6шт.), карточки-инструкции; карточки-задания; маршрутные листы.

Ход урока

I. Организационный момент.

— сообщение темы урока (записано на доске)

— необходимость проведения урока-зачёта в 10-11 классах:

  • в 10 классе — после прохождения темы с целью контроля за знаниями;
  • в 11 классе — после повторения темы с целью подготовки к ЕГЭ;

— представление помощников — консультантов помогающих проводить зачёт;

— время проведения зачёта — два спаренных урока;

— оценка знаний учащихся.

II. Вступительное слово учителя.

Зачёт проходит по типу «Вертушка».

Весь материал по теме разбит на шесть частей (они записаны на доске):

1. Метод интервалов.

2. Касательная к графику функции.

3. Производная в физике и технике.

4. Исследование функции.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции.

6. Производная на ЕГЭ.

Из учащихся 10-11 классов выбираются учащиеся консультанты по каждому разделу. Они заранее сдают теорию по всем разделам, а по своему разделу готовят:

а) задания с решениями, а после проверки учителя — карточки с заданиями;

б) карточки-инструкции для решения заданий.

Для проведения зачёта столы в классе расставлены особым образом

На каждом столе лежат: табличка с названием раздела; карточки-задания; карточка-инструкция, решение заданий. За каждым столом ученик консультант.

Каждый учащийся получает маршрутный лист, таким образом, за каждым столом получается одинаковое количество учащихся. В маршрутном листе: указан путь следования от одного стола к другому; выставляется количество баллов, полученных учащимися за каждым столом; в графе «штраф» указывается количество баллов в том случае, если учащийся обращался за помощью к консультанту. За использование карточки-инструкции штраф не проставляется.

Условия заполнения маршрутного листа оговариваются заранее.

Фамилия, Имя класс______

Каждый учащийся получает маршрутный лист в котором в первом столбце разная комбинация цифр, например:

  • 1 ученик — 1,2,3,4,5,6;
  • 2-й ученик — 2,3,4,5,6,1;
  • 3-й ученик — 3,4,5,6,1,2;
  • 4-й ученик — 4,5,6,1,2,3;
  • 5-й ученик- 5,6,1,2,3,4;
  • 6-й ученик — 6,1,2,3,4,5;
  • 7-й ученик — как первый.

Таким образом за первым столомокажутся 1,7,13,19,25,31 учащиеся. За вторым — 2,8,14,20,26,32 учащиеся и т. д.

Каждый учащийся работает за столом, указанном в маршрутном листе первым.

После выполнения задания и проверки решения консультантом, ученик переходит за другой стол, указанный в маршрутном листе вторым и т.д.

Если в процессе работы за каким-то столом оказалось больше учащихся, в этом случае учитель выполняет роль диспетчера. Можно изменить маршрут и направить учащихся за другой стол, а к этому вернуться позднее.

Ответ учащихся оценивается по 5-бальной системе. Максимальное количество баллов, которое может получить учащийся -30 (записано на доске):

  • 16-20 баллов — оценка «3»
  • 21-25 баллов — оценка «4»
  • 26-30 баллов — оценка «5»

III. Основная часть (зачёт)

Первый стол

1. Метод интервалов

Карточка-инструкция: Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

1. Привести неравенство к виду, чтобы в правой части был 0.

2. Рассмотреть функцию записанную в левой части у=f(х)

3. Найти область определения функции.

4. Найти нули функции.

5. Отметить полученные точки (нули функции и точки, в которых она не существует) на координатной прямой.

6. Разбить прямую на интервалы.

7. Определить знак функции на каждом интервале.

8. Выбрать решения неравенства («+» соответствует знаку «>», » — » соответствует знаку » 3 -х 2 -3х 3 · х 2 · (х+1) > 0

Второй стол

Карточка-инструкция: Касательная к графику функции

Алгоритм написания уравнения касательной у=f(х0)+f'(х0) (х-х0)

Алгоритм нахождения углового коэффициента касательной.

Написать уравнение касательной к графику функции

  • f(x) = x 2 -2x в точке с его абсциссой х0=2
  • f(x) = x 2 +1 в точке с его абсциссой х0=1
  • f(x) = -0,5x 2 +2x в точке с его абсциссой х0=0

Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику

  • у = 5х 4 -0,5х+5 в точке х0=1
  • у = 5х 3 -7х в точке х0=2
  • у = х 4 -0,5х+5 в точке х0=1

Третий стол

Производная в физике и технике

Алгоритм нахождения производной в физике и технике:

  1. Находим производную от координаты по времени (она равна скорости)
  2. Найдём производную скорости от времени (она равна ускорению)

Производная в физике и технике

  1. Производная от координаты по времени есть скорость.
  2. В этом заключается механический смысл производной x'(t)=u(t)
  3. Производная от скорости по времени есть ускорение u'(t)=a

Карточки-задания:

  1. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 3t 3 + 2t + 1. Найдите её скорость в момент времени t = 2 (координата x(t) изменяется в сантиметрах, время t — в секундах). (2 вариант: x(t) = 3t 4 + 2t 3 + 6, t = 2)
  2. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0.5t 2 — 3t + 5. В какой момент времени скорость точки равна 9 (координата x(t) измеряется в сантиметрах, время t — в секундах).
  3. Прямолинейное движение точки описывается законом x(t) = 2t 3 — t 2 . Найти скорость и ускорение в момент t = 2. (2 вариант: x(t) = t 4 — 3t, t = 1)
  4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t 3 — 4t 2 . Найдите скорость и ускорение в момент t = 5c (перемещение в метрах).

Четвёртый стол

Алгоритм исследования функций

  1. Найти область определения: D (f)
  2. Найти производную функции, критические точки
  3. Промежутки возрастания и убывания функции
  4. Точки экстремума (max, min) и значения функции в этих точках
  5. Точки пересечения графика с осями координат
  6. Поведение функции в окрестности «особых точек»

Исследовать функцию и построить её график

  • f(x) = x 4 — 4x 2
  • g(x) = -x 3 + 3x — 2
  • h(x) = x 3 + 6x — 15x — 3
  • f(x) = -x 3 + 3x 2 — 4

Пятый стол

Наибольшее и наименьшее значения функции

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

  1. Находим критические точки, т.е. f'(x) = 0
  2. Вычислим значения функции во всех критических точках принадлежащих отрезку и на концах отрезка.
  3. Из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

  • f(x) = -3x 2 + 6x — 10 [-2; 9]
  • g(x) = x 3 + 3x 2 — 45x — 2 [-6; 0]
  • h(x) = 2x 2 — 8x + 6 [-1; 4]
  • y(x) = x 3 — 3x 2 — 9x — 4 [-4; 4]
  • u(x) = x 3 -9x 2 + 15x — 3 [3; 6]
  • g(x) = x 4 — 8x 3 + 10x 2 + 1 [-1; 2]

Шестой стол

Производная на ЕГЭ

IV. Заключительная часть.

Подведение итогов. Выставление оценок.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Точка движется по закону x 2-3t+t

26 июняНовые варианты прошедших ЕГЭ по математике: здесь.

5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн.
Андроид iOS

− Учитель Думбадзе В. А.
из школы 162 Кировского района Петербурга.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

Найдем закон изменения скорости:

При t = 9 c имеем:

м/с.

Почему мы не учитываем число 17 из первоначального уравнения?

найдите производную исходной функции.

в производной нет числа 17

Зачем находить производную?

Скорость — это производная координаты по времени.

В задаче просят найти скорость

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

Найдем закон изменения скорости:

м/с.

м/с.

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16,, а не 20

вспомните про порядок действий

А с каких пор сложение предпочтительнее вычитания ?

Умножение приоритетней сложения и вычитания. Вспомните детский школьный пример: 2 + 2 · 2. Напомню, что здесь получается не 8, как считают некоторые, а 6.

Вы, не поняли ответа гостя.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Так-что всё верно, посчитайте сами.

2) умножение/деление (зависит от порядка в уравнении, что первое стоит — то и решается первым делом);

3) сложение/вычитание (аналогично зависит от порядка в примере).

Умножение = делению, сложение = вычитанию =>

Не 54 — (36+2), а 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Во-первых, для вас — Сергей Батькович. Во-вторых, вы сами поняли, что и кому сказать хотели? Я вас не понял.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.

Найдем закон изменения скорости: м/с. При имеем:

м/с.

ege.sdamgia.ru

Физический материал на уроках математики

V. Элементы анализа и физики

Статья опубликована при поддержке интернет – портала «Турскидки.ru». Хотите организовать свой отдых, но не можете выбрать среди множества туроператоров? Тогда портал «Турскидки.ru» это то что вам нужно. Только здесь вы сможете подобрать туры на Бали, Каппадокию и другие курорты, и не промахнуться с ценой, выбирая из лучших предложений ведущих операторов. Посетите сайт портала www.tourskidki.ru и распланируйте свой отпуск.

Производная как скорость изменения функции

Ученики подчас отождествляют скорость изменения функции с механической скоростью. Поэтому при введении понятия производной целесообразно разнообразить функции и аргументы.

1. При равномерном прямолинейном движении при неравномерном – v = S’ (t).

2. При постоянном токе при переменном токе I = q’ (t).

3. При равномерном движении по окружности , при неравномерном – w = j ‘ (t).

4. Рассмотрим известную формулу

(физика, 8 класс), где Q – количество теплоты, m – масса, D T – разность температур, c – удельная теплоемкость. Для m = 1 кг Q = c D T. Для изменяющейся температуры c = Q’ (T).

5. В школьном курсе физики и в повседневной жизни рассматривается объемная плотность, равная массе единицы объема: ( r – плотность, m – масса, V – объем).

Под линейной плотностью подразумевается масса единицы длины: (l – длина).

Рассмотрим стержень с неоднородной плотностью (неоднородный стержень). Пусть начало координат (рис. 64) совпадает с концом стержня, а весь стержень лежит вдоль оси Ol. Средняя плотность между точками l1 и l2 равна отношению

Производная и первообразная

Во многих задачах физики приходится в одних случаях по заданной функции находить производную, а в других – по заданной производной восстанавливать функцию, т. е. находить первообразную. Кажется целесообразным «отрабатывать цепочку» в двух направлениях.

Задача 1. Материальная точка движется по закону x = 4 + 2t + t 2 (м).

а) Найдите скорость и ускорение. Убедитесь, что при замене начальной координаты (4 м) на другие ее значения, например, на 0, 1, 5 (м) величина скорости не изменится, а при замене начальной скорости (2 м/с) на 0, 1, 5 (м/с) величина ускорения не изменится.

б) По найденному ускорению определить скорость и координату.

а) x = 4 + 2t + t 2 , v = 2 + 2t.
x = 2t + t 2 , v = 2 + 2t.
x = 1 + 2t + t 2 , v = 2 + 2t.
x = 5 + 2t + t 2 , v = 2 + 2t.
v = 2 + 2t, a = 2.
v = 2t, a = 2.
v = 1 + 2t, a = 2.
v = 5 + 2t, a = 2.

б) a = 2, v = 2t + C (постоянная интегрирования есть начальная скорость). Для значений начальной скорости 0, 1, 5 (м/с) имеем
v = 2t, v = 1 + 2t, v = 5 + 2t.

Пусть v = 5 + 2t. Тогда , где C – начальная координата.

Для x0 = 0 x = 2t + t 2 ;

для x0 = 1 x = 1 + 2t + t 2 ;
для x0 = 5 x = 5 + 2t + t 2 .

Задача 2. а) x = 2 + 3t – t 2 + 5t 3 (м).

v = x ‘(t) = 3 – 2t + 15t 2 (м/с),

a = v’ (t) = – 2 + 30t (м/с 2 ); a’ (t) = 30 (м/с 3 ).

a’ (t) – скорость изменения ускорения.

Уравнение координаты вида x = k + k1t + k2t 2 + k3t 3 соответствует движению с изменяющимся ускорением, но при этом скорость изменения ускорения есть величина постоянная, т. е. a’ (t) = const.

б) a’ (t) = 30, a = 30t + C, где C – начальное ускорение.

Пусть C = – 2 м/с 2 . Тогда a = – 2 + 30t, v = C1 – 2t + 15t 2 .

Пусть C1 = 3 м/с. Тогда v = 3 – 2t + 15t 2 , x = C2 + 3t – t 2 + 5t 3 .

Пусть C2 = 2 м. Тогда x = 2 + 3t – t 2 + 5t 3 .

Задачи, помогающие раскрыть суть постоянной интегрирования

Задача 1. Тело движется со скоростью v = 4cos t. За время оно прошло 20 м. Найдите уравнение координаты.

Решение. x = 4sin t + C. По условию C = 18.

x = 4sin t + 18 (м).

Задача 2. Найдите кинетическую энергию тела, имеющего в момент t = 4 с ускорение a = 3t – 2 (м/с 2 ), если масса тела равна 5 кг, а скорость при t = 0 равна 2 м/с.

Решение.

По условию

Три задачи с одной математической моделью

Задача 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y = 6x – x 2 и осью абсцисс.

Решение. При x = 0 y = 0; при y = 0 x1 = 0, x2 = 6.

Задача 2. Тело движется прямолинейно со скоростью v = 6t – t 2 (м/с). Найдите длину пути, пройденного телом от начала движения до остановки.

Решение. При подстановке v0 = 0 или 6t – t 2 = 0, t1 = 0, t2 = 6.

Задача 3. По цепи идет переменный ток I = 6t – t 2 (А). Найдите величину заряда, прошедшего по цепи за первые 6 с.

Решение.

Ответ: 36 Кл (Кл – кулон).

Площади, произведение двух величин, сумма произведений, интегральные суммы, интеграл

Задача 1. Какой величины заряд проходит через проводник за 5 с, если:

а) сила тока равна 6 А;
б) сила тока равномерно возрастает от нуля до 4 А;
в) сила тока изменяется по закону I = t + 2;
г) сила тока изменяется по закону I = t 2 – 2t + 3?

q = It = 6 ж 5 = 30 (Кл),

1) Найдем приближенное значение величины заряда как сумму площадей пяти прямоугольников.

I(0) = 3, I(1) = 2, I(2) = 3, I(3) = 6, I(4) = 11, I(5) = 18,

q d S = 2,5 ж 1 + 2,5 ж 1 + 4,5 ж 1 + 8,5 ж 1 + 14,5 ж 1 = 32,5 (Кл).

2) Найдем искомый заряд с помощью интеграла

Задача 2. Определите координату точки через 6 с после начала движения, если:

а) скорость равна 5 м/с;
б) скорость равномерно возрастает от нуля до 6 м/с (равноускоренное движение с начальной скоростью, равной нулю, и ускорением 1 м/с 2 );
в) скорость изменяется по закону v = 2t + 3 (равноускоренное движение с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с 2 ;
г) скорость изменяется по закону v = t 2 – 4t + 5 (движение с изменяющимся ускорением, но при этом скорость изменения ускорения есть величина постоянная).

Задача 3. Определите работу по перемещению груза на расстояние 4 м, если сила, приложенная к грузу,

а) равна 4 Н (A = Fx);
б) равномерно возрастает от нуля до 5 Н;
в) изменяется по закону F = x + 3;
г) изменяется по закону

(Предполагается, что направление действия силы совпадает с направлением перемещения груза.)

Задача 4. Определите массу стержня длиной 3 м, если:

а) линейная плотность стержня равна 5 кг/м;
б) линейная плотность стержня равномерно убывает от 8 кг/м до 2 кг/м.

Задачи 2–4 предлагается решить самостоятельно.

Задачи, связанные с коэффициентом пропорциональности

Задачи этого типа вызывают определенные трудности у учеников. Их решение следует начинать с определения коэффициента пропорциональности.

Задача 1. Скорость движения, пропорциональная квадрату времени, в конце четвертой секунды равна 1 м/с. Чему равен путь, пройденный за первые 10 с?

Решение. 1 = k ж 4 2 ,

Ответ:

Задача 2. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Определите скорость колеса через 48 с после начала движения.

Решение. По условию j = kt 2 , где j – угол поворота, t – время. 1 = k ж 8 2 , Угловая скорость

Задача 3. Неоднородный стержень AB имеет длину 12 см. Масса его части AB растет пропорционально квадрату расстояния точки M от конца A и равна 10 г при AM = 2 см. Найдите массу всего стержня и линейную плотность в точках A и B.

Решение. Пусть длина отрезка AM = x (см), тогда m = kx 2 , где k – коэффициент пропорциональности. Имеем 10 = k ж 2 2 , k = 2,5.

Масса стержня равна m = 2,5 ж 12 2 = 360.

Линейная плотность равна r l = m’ (x) = 2kx = 5x.

В точке A m’ (x) = m’ (0) = 0.

В точке B m’ (x) = m’ (12) = 5 ж 12 = 60.

Ответ: 360 г, 60 г/см.

Задача 4. На материальную точку действует сила, которая меняется обратно пропорционально квадрату расстояния до некоторого объекта. Известно, что она составила 1 Н, когда расстояние до объекта было 2 м. Вычислите работу этой силы по перемещению материальной точки из пункта, находящегося на расстоянии 10 м от объекта, до пункта, находящегося на расстоянии 3 м.

Решение. По условию

Ответ:

Задача 5. Дождевая капля, начальная масса которой m0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что убыль массы пропорциональна времени. Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

Решение. Кинетическая энергия

Через искомые t с масса станет равной m0 – kt, а

Ответ:

Задачи на наименьшие и наибольшие значения

Проблема нахождения наименьших и наибольших значений играет первостепенную роль в физике, технике, экономике. Речь идет об определении предельно возможных значений физических и других величин, экономии времени, энергии, материалов, о предупреждении аварийных ситуаций и др.

Предложенные задачи носят выборочный характер, они лишь в небольшой степени отражают масштабность затронутой проблемы.

Задача 1. Электрические заряды q1 = 5 нКл и q2 = 11 нКл расположены на расстоянии r друг от друга. Как перераспределить заряды, чтобы сила взаимодействия между ними была наибольшей?

Решение. По закону Кулона сила взаимодействия между зарядами

Для получения наибольшей силы надо от q2 отнять 3 нКл и передать q1.

Задача 2. Электрическая цепь состоит из двух параллельно соединенных проводников. При каком соотношении между сопротивлениями этих проводников сопротивление наибольшее, если при последовательном соединении сопротивление цепи равно 6 Ом?

Решение. При последовательном соединении R = R1 + R2,

при параллельном –

Так как R1 + R2 = 6 = const, то R1R2 достигает наибольшего значения при R1 = R2 = 3 (Ом) и, следовательно,

достигает этого значения.

Примечание. При решении задач 1 и 2 была применена теорема:

произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей.

Приведем другой способ решения задачи 2.

и мы имеем максимум.

Задача 3. Река шириной 120 м течет со скоростью 1,5 м/с. Лодочник, который может грести со скоростью 2,5 м/с, хочет достичь противоположного берега в кратчайшее время. Найдите это время и направление движения лодочника относительно берега.

Решение. Для достижения поставленной цели необходимо, чтобы результирующая скорость была направлена перпендикулярно берегам реки (наименьшему расстоянию соответствует минимальная затрата времени) (рис. 69).

Ответ: 60 с, 53° приближенно.

Задача 4. Между точками A и B движется по прямой тело таким образом, что выходя из точки A с начальной скоростью v0 = 0, оно должно иметь в точке B скорость v = 0. При этом тело может двигаться с постоянным по модулю ускорением и равномерно. Каким должен быть характер движения, чтобы время его было минимальным?

Решение. Пройденный путь может быть изображен в виде площади трапеции или треугольника (рис. 70).

Ответ. Первую половину времени тело должно двигаться равноускоренно, а второю половину равнозамедленно.

Утверждение. Если где a > 0, a1 > 0, a2 > 0, . an > 0, то a

Задача 6. К конденсатору емкостью Cx надо присоединить другой так, чтобы в результате получилась емкость меньше 3 мкф (микрофарад).

Решение. При последовательном соединении конденсаторов

К конденсатору емкость Cx надо присоединить последовательно другой конденсатор емкостью C m 3 (мкф) (рис. 72).

Теорема. Если a > 0 и b > 0, то

(другие неравенства доказываются подобным образом).

Задача 7. Докажите, что если две силы приложены к одной точке под углом 90°, то где F – равнодействующая F1 и F2.

Сформулируем задачу по-другому. Докажите, что в прямоугольном треугольнике наибольшее значение суммы длин катетов равно длине гипотенузы, умноженной на (рис. 73, 74).

Задача 8. Определите минимальное расстояние между предметом и его действительным изображением в собирающей линзе с фокусным расстоянием F.

Решение. – формула тонкой линзы, где d – расстояние от предмета до линзы, f – расстояние от линзы до изображения предмета, F – фокусное расстояние.

Наименьшему расстоянию d + f соответствует d = f (рис. 75).

Из находим

Второй способ решения. Пусть d + f = a, f = a – d,

Третий способ решения.

При d = 2F имеем наименьшее расстояние, равное 4F.

Четвертый способ.

При d = 2F f = 2F, а d + f = 4F.

Принцип Ферма

Пьер Ферма (1601–1665 гг.) в результате решения многих задач провозгласил так называемый принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу природа заставляет все явления совершаться с минимальной затратой энергии, времени и др. (Принцип Ферма не является универсальным.) Например, свет выбирает из всех возможных траекторий, соединяющих две точки, ту, которая требует наименьшего времени.

Применительно к закону преломления света – время прохождения границы двух сред минимально при

где V1 и V2 – скорости распространения света в разных средах, например, в воздухе и воде, a – угол падения, b – угол преломления.

«Перенесем» принцип Ферма из оптики в механику.

Задача 9. Лодка M находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки A берега. Пассажир лодки желает достигнуть точки B, находящейся на берегу на расстоянии 5 км от A. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может пройти в час 5 км. К какому пункту берега должна прибыть лодка, чтобы пассажир достиг B в кратчайшее время?

Решение. Время будет минимальным при (рис. 76)

Ответ: AO = 4 км, OB = 1 км.

Другой способ решения.

Пусть AO = x. Тогда OB = 5 – x и

Ответ: 4 км, 1 км.

Задача 10. Пешеход должен пройти из пункта A, находящегося на одном тротуаре, в пункт B, находящийся на другом тротуаре. Зная, что скорость движения по тротуару в m раз ( m > 1) больше, чем по мостовой, определить под каким углом j пешеход должен пересечь улицу для того, чтобы совершить путь в кратчайшее время.

Если допустить, например, m = 2, то j = 60°.

Задачи (11–13), решение которых основано на выделении полного квадрата

Задача 11. Материальная точка движется по закону x = t 2 – 4t + 5 (координата в метрах, время в секундах). Через сколько секунд координата будет наименьшей, и чему она будет равна?

Решение. x = (t – 2) 2 – 4 + 5 = (t – 2) 2 + 1.

Ответ: t = 2 с, x = 1 м.

Задача 12. Материальные точки m1 и m2 движутся по осям x и y. В момент t = 0 точка m1 находится на расстоянии 10 м, а m2 на расстоянии 5 м от начала координат. Каково наименьшее расстояние между ними, если m1 движется со скоростью 2 м/с, а m2 – со скоростью 4 м/с?

Решение. Пусть AB – искомое расстояние. Тогда (рис. 77)

Ответ:

Объем продуктов сгорания, выходящих через трубу за единицу времени, определяется формулой где T – абсолютная температура газов в трубе, T0 – абсолютная температура наружного воздуха, k – коэффициент пропорциональности. При каком соотношении T и T0 объем продуктов сгорания, выходящих через трубу, будет наибольшим (тяга будет наилучшей)?

Ответ: максимальный объем будет при T = 2T0.

VI. Разные задачи

1. Отклонение температуры t от нормальной t0 не превышает 4°. Запишите это с помощью математических символов.

2. Дана запись колебаний температуры за 0,2 с (рис. 78). Определите период колебаний.

3. Определите период переменного тока в осветительных сетях, если частота тока 50 колебаний за секунду (50 герц).

4. Дан график движения поезда на одной из линий метро. Определите период функции v(t), расстояние между двумя соседними станциями и среднюю скорость за один период.

T = 80 с; l = 50 ж 24 = 1200 м;

5. По данному графику определите среднюю скорость движения за 10 с.

S = 0.5 ж 2 ж 1 + 3 ж 1 +0.5 ж (1 + 5) ж 2 + 3 ж 5 = 25 (м).

6. Коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя

где T1 – абсолютная температура нагревателя, T2 – абсолютная температура холодильника.
При каких условия кпд был бы равен: а) единице; б) нулю?

Из формулы видно, что большей разности T1 – T2 соответствует большее значение кпд. Данные математического исследования учитываются при конструировании и эксплуатации тепловых двигателей.

7. Механическая работа определяется формулой A = FScos a (рис. 81). При каких значениях угла a работа будет максимальной, будет равна половине максимально возможной, будет равна нулю?

a = 0, a = 60°, a = 90°.

8. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью v0, определяется формулой

а максимальная высота поднятия

а) При каком значении угла a дальность полета будет наибольшей?

sin 2 a = 1, a = 45°.

б) Докажите, что при a = 30° и a = 60°, a = 70° и a = 20°, a = 40° и a = 50° дальность полета будет одинаковой. Сделайте обобщение.

в) Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы высота его подъема составила

sin 2 a = sin 2 a , sin a (sin a – 2cos a ) = 0, tg a = 2, a d 64°.

Ответ: приближенно 64°.

(Обратите внимание на решение тригонометрических уравнений в общем виде и применительно к реальным явлениям, а также к геометрическим задачам.)

9. Солнечные лучи падают на горизонтально расположенное зеркало m под углом 40° (рис. 82). Отражаясь от него, они падают на второе зеркало n и вновь отражаются от него. Под каким углом к горизонтальной плоскости нужно расположить второе зеркало, чтобы отраженные от него лучи падали перпендикулярно к горизонтальной плоскости?

Решение. F ABC = 40°, F ABD = F DBC = 20°.

F OBC = 70°, F BOC = 20°.

10. Высота передающей антенны телецентра 520 м, а высота приемной антенны телевизора 10 м. На каком предельном расстоянии от передатчика можно вести прием?

Решение. Телепередачи ведутся на ультракоротких волнах, которые распространяются в пределах прямой видимости (эти волны не могут огибать кривизну земной поверхности) (рис. 83).

OA1 = OB = OC1 + R = 6400 км,
AA1 = 520 м = 0,52 км,
CC1 = 10 м = 0,01 км.

Искомое расстояние AC = AB + BC.

Ответ: приближенно 91,2 км.

11 (задача для самостоятельного решения). Какой наименьшей высоты должна быть приемная антенна, чтобы обеспечить прием на расстоянии 150 км от телецентра, если высота передающей антенны 520 м?

12. Под каким углом a должен плыть пловец, чтобы из точки A попасть в точку C, если скорость пловца v = 3 м/с, скорость течения v0 = 1 м/с, F BAC = 45° (см. рис. 84)?

13. Под каким углом к горизонту должен вылететь снаряд, чтобы дальность полета была 9 км, если начальная скорость снаряда v0=600 м/с?

Решение. Составим систему уравнений

В момент падения снаряда x = 9000, а y = 0.

(Задачи 12 и 13 можно использовать при прохождении темы «Тригонометрические уравнения».)

14. Корабль идет по прямой с постоянной скоростью vк = 20 км/ч. С какой скоростью подходит спереди перпендикулярно к его курсу моторная лодка (см. рис. 85), если с корабля лодка видна под постоянным углом 60°?

Ответ: приближенно 34,6 км.

15. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебательные движения по закону x = 7sin 0,5 p t,

а) проходит от положения равновесия до максимального смещения;
б) сместится на половину амплитуды?

Заключение

Использование физического материала содействует развитию навыков в применении математического аппарата, дает возможность применять различные методы (векторный, координатный и др.) для решения прикладных задач, помогает формировать у учеников представление о роли математики в изучении окружающего мира, видеть разницу между реальным и идеальным, между физическим явлением и его математической моделью, вызывает дополнительный интерес и мотивацию к учению.

Отобранный для уроков математики физический материал должен быть простым и, желательно, уже изученным на уроках физики.

mat.1september.ru

Популярное:

  • Срок уплаты штрафа в пфр Штрафы ПФР в 2017 году за не сданные формы РСВ-1 и СЗВ-М Штрафы ПФР в 2017 году предусматривают новый вид отчетности — сведения о работающем коллективе фирмы. Искаженные данные или их отсутствие ПФ расценивает как нарушение, и […]
  • Законы рф как источник экологического права Законы рф как источник экологического права III. ИСТОЧНИКИ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ПРАВА 1. Понятие, особенности, классификация и система источников экологического права2. Конституционные основы регулирования природопользования и […]
  • Кто в ссср правил меньше всего Кто из перечисленных лидеров правил меньше остальных? Менее всех руководил партией и страной Константин Устинович Черненко. Срок его власти составил всего один год и один месяц - с февраля 1984 по март 1985 г. Его […]
  • Калькулятор единовременного пособия при рождении ребенка Калькулятор расчета соцстраховских пособий Сегодня 6 августа 2018 г., 01:59 В рамках социального страхования работникам выплачиваются различные пособия (например, больничное пособие, пособие по уходу за ребенком до 1,5 лет и […]
  • Нотариус зеленоград часы работы Зеленоградский административный округ (ЗелАО) Зеленоград, микрорайон 2,корп.248 +7 (499) 736-78-85 Нотариус Гудкова Лилия Наядовна График работы: вторник-четверг 10:00-18:30; пятница 10:00-18:00, перерыв 13:00-14:00; суббота […]
  • Форма заявление 23-пфр Форма 23-ПФР Актуально на: 13 сентября 2016 г. Излишне уплаченные страхователем взносы, а также пени и штрафы в ПФР и ФФОМС можно вернуть. Для этого в свое отделение ПФР по месту регистрации организация (ИП) должна подать форму […]
  • Федеральный закон от 21122009 334-фз РТН подвёл итоги проверок второго квартала. Нарушения те же, суды продолжаются… Ростехнадзор опубликовал результаты проверок саморегулируемых организаций во втором квартале 2018 года. Традиционно документ состоит из двух частей. […]
  • Постеры высокого разрешения Фотографии и графикадля производства Профессиональные фотографии высокого разрешениядля любых производственных целей : - для печати плакатов, постеров, картин на холсте; - для нанесения на стекло, скинали, кухонные […]