4 правила дифференцирования

4 правила дифференцирования

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I, формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV, формулы 5 и 1.

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

www.mathematics-repetition.com

Правила дифференцирования. Производная произведения функций.

Дифференцирование – определение производных и дифференциалов всех порядков от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, кроме того, полных дифференциалов от функций большинства переменных.

Доказательство правила дифференцирования произведения 2-х функций:

Записываем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Учитываем, что:

и

(приращение функции стремится к 0 при приращении аргумента, который стремится к 0).

Теперь рассмотрим на нескольких примерах вышеуказанное правило.

.

В этом примере . Применим правило производной произведения:

Смотрим таблицу производных основных элементарных функций и находим решение:

Найдем производную функции:

.

В данном примере . Значит:

Теперь посмотрим на вариант определения производной произведения 3-х функций. По такой системе дифференцируют произведение 4-х, и 5-ти, и 25-ти функций.

.

Исходим из правила дифференцирования произведения 2-х функций. Функцией f(x) считаем произведение (1+x)sinx, а функцией g(x) возьмем lnx:

Что бы определить снова применяем правило производной произведения:

Воспользуемся правилом производной суммы и таблицей производных:

Подставляем результат, который мы получили:

Из выше описанного видно, иногда нужно применять не только одно правило дифференцирования на одном примере. Тут важно делать все последовательно и внимательно.

Найдем производную функции:

.

Функция является разностью выражений и , значит:

В первом выражении выносим 2-йку за знак производной, а во 2-м выражении используем правило дифференцирования произведения:

www.calc.ru

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций».

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое uv , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций».

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 7. Найти производную функции

.

Пример 8. Найти производную функции

.

Продолжаем искать производные вместе

Пример 9. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных — под номером 3), получим

.

Пример 10. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 11. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 12.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных — номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель — также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя — это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного — в статьях «Производная произведения и частного функций» и «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

function-x.ru

Правила дифференцирования: доказательство и примеры

Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.

Условимся заранее, что все функции f ( x ) и g ( x ) , упомянутые здесь, будем считать дифференцируемыми на промежутке x , иными словами, для любого x 0 = x ∈ X будет справедливо равенство f ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x , g ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x . Здесь ∆ f ( x ) = f ( x + ∆ x ) — f ( x ) , ∆ g ( x ) = g ( x + ∆ x ) — g ( x ) считаются приращениями указанных функций. Также это можно записать как f ( x + ∆ x ) = f ( x ) + ∆ f ( x ) , g ( x + ∆ x ) = g ( x ) + ∆ g ( x ) .

Сформулируем основные проблемы дифференцирования:

  1. Как вынести постоянный множитель за знак производной.
  2. Как вычислить производную суммы и производную разности.
  3. Как вычислить производную произведения функций.
  4. Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями).

Разберем все эти случаи по порядку.

C · f ( x ) ‘ = C · f ‘ ( x ) , C ∈ R ( f ( x ) ± g ( x ) ) ‘ = f ‘ ( x ) ± g ‘ ( x ) ( f ( x ) · g ( x ) ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) + f ( x ) · g ‘ ( x ) f ( x ) g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · g ‘ ( x ) g 2 ( x )

Как вынести постоянный множитель за знак производной

Для начала нам нужно доказать следующую формулу:

C · f ( x ) ‘ = C · f ‘ ( x ) , C ∈ R

Используя определение производной, запишем следующее:

C · f ( x ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( C · f ( x ) ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C · f ( x + ∆ x ) — C · f ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 C · f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C · ∆ f ( x ) ∆ x

Если в таком выражении у нас есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода (мы доказывали это утверждение, когда изучали свойства предела). Значит, C · f ( x ) ‘ = lim ∆ x → 0 C · ∆ f ( x ) ∆ x = C · lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x = C · f ‘ ( x ) .

Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение.

Дана функция y = 2 · cos x . Необходимо вычислить ее производную.

Решение

Обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что cos x ‘ = — sin x .

Вынесем множитель за знак производной и получим:

y ‘ = 2 · cos x ‘ = 2 · cos x ‘ = — 2 · sin x

Ответ: y ‘ = 2 · cos x ‘ = 2 · cos x ‘ = — 2 · sin x .

Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.

Продифференцировать функцию f ( x ) = log 3 x 2 — 1 .

Решение

Зная свойства логарифмической функции, мы можем сразу записать, что f ( x ) = log 3 x 2 — 1 = 2 — 1 · log 3 x . Теперь вспоминаем, как вычислить для нее производную, и выносим постоянный множитель:

f ( x ) = log 3 x 2 — 1 ‘ = 2 — 1 · log 3 x ‘ = = 2 — 1 · log 3 x ‘ = 2 — 1 x · ln 3

Ответ: f ( x ) = 2 — 1 x · ln 3

Дана функция y = 1 2 — x + 3 . Вычислите ее производную.

Решение

Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.

y = 1 2 — x + 3 = 1 2 — x · 2 3 = 2 x 2 3

Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:

y ‘ = 2 x 2 3 ‘ = 1 2 3 · 2 x ‘ = 1 2 3 · 2 x · ln 2 = 2 x — 3 · ln 2

Ответ: y ‘ = 2 x — 3 · ln 2

Как вычислить производную суммы и производную разности

Чтобы доказать второе правило дифференцирования f ( x ) ± g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) ± g ‘ ( x ) , нам нужно вспомнить определение производной, а также одно из свойств, которым обладает предел непрерывной функции.

f ( x ) ± g ( x ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( f ( x ) ± g ( x ) ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f x + ∆ x ± g x + ∆ x — ( f ( x ) ± g ( x ) ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ± ( g ( x + ∆ x ) — g ( x ) ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ∆ x ± lim ∆ x → 0 g ( x + ∆ x ) — g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x ± lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x = f ‘ ( x ) ± g ‘ ( x )

Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:

f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± . . . ± f n ( x ) ‘ = f 1 ‘ ( x ) ± f 2 ‘ ± . . . ± f n ‘ ( x )

Вычислить производную y = x 3 + 3 x + 1 — ln x ln 5 + 3 .

Решение

Первым делом упрощаем данную функцию.

y = x 3 + 3 x + 1 — ln x ln 5 + 3 = x 3 + 3 · 3 x — ln ( 5 + 3 ) · ln x

После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:

y ‘ = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln 5 + 3 · ln x ‘

Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:

y ‘ = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln 5 + 3 · ln x ‘ = = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln ( 5 + 3 ) · ln x ‘

Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:

y ‘ = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln ( 5 + 3 ) · ln x ‘ = = 3 · x 3 — 1 + 3 · 3 x · ln 3 — ln 5 + 3 x = 3 · x 2 + 3 x + 1 · ln 3 — ln ( 5 + 3 ) x

Ответ: y ‘ = 3 · x 2 + 3 x + 1 · ln 3 — ln ( 5 + 3 ) x

Как вычислить производную произведения функций

Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: f x · g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) ‘ + f ( x ) · g ‘ ( x )

Попробуем доказать его.

Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что f ( x + ∆ x ) = f ( x ) + ∆ f ( x ) , g ( x + ∆ x ) = g ( x ) + ∆ g ( x ) , а lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) = 0 , lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) = 0 , то есть если приращение аргумента стремится к 0 , то и приращение функции также будет к нему стремиться.

( f ( x ) · g ( x ) ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( f ( x ) · g ( x ) ) ∆ x = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) · g ( x + ∆ x ) — f ( x ) · g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( f ( x ) + ∆ f ( x ) ) + ( g ( x ) · ∆ g ( x ) ) — f ( x ) · g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f ( x ) · g ( x ) + g ( x ) · ∆ f ( x ) + f ( x ) · ∆ g ( x ) + ∆ f ( x ) · ∆ g ( x ) — f ( x ) · g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 g ( x ) · ∆ f ( x ) + f ( x ) · ∆ g ( x ) + ∆ f ( x ) · ∆ g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 g ( x ) · ∆ f ( x ) ∆ x + lim ∆ x → 0 f ( x ) · ∆ g ∆ x + lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x · lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) = = g ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x + f ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x + f ‘ ( x ) · 0 = = f ‘ ( x ) · g ( x ) + f ( x ) · g ‘ ( x )

Это и есть результат, который нам нужно было доказать.

Продифференцируйте функцию y = t g x · a r c sin x .

Решение

Здесь f ( x ) = t g x , g ( x ) = a r c sin x . Можем воспользоваться правилом производной произведения:

y ‘ = ( t g x · a r c sin x ) ‘ = ( t g x ) ‘ · a r c sin x + t g x · ( a r c sin x ) ‘

Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:

y ‘ = ( t g x · a r c sin x ) ‘ = ( t g x ) ‘ · a r c sin x + t g x · ( a r c sin x ) ‘ = = a r c sin x cos 2 x + t g x 1 — x 2

Ответ: y ‘ = a r c sin x cos 2 x + t g x 1 — x 2

Дана функция y = e x x 3 . Вычислите производную.

Решение

Здесь мы имеем f ( x ) = e x , g ( x ) = 1 x 3 = x — 1 3 . Значит,

y ‘ = e x x 3 = e x · x — 1 3 ‘ = e x ‘ · x — 1 3 + e x · x — 1 3 = = e x · x — 1 3 + e x · — 1 3 · x — 1 3 — 1 = e x x 3 — e x x 4 3 = e x x 3 · 1 — 1 x

Ответ: y ‘ = e x x 3 · 1 — 1 x

Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.

Продифференцируйте функцию y = ( 1 + x ) · sin x · ln x .

Решение

Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией f ( x ) произведение ( 1 + x ) · sin x , а g ( x ) – ln x .

У нас получится следующее:

y ‘ = ( ( 1 + x ) · sin x · ln x ) ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + 1 + x · sin x · ln x ‘

Чтобы найти 1 + x · sin x ‘ , нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:

1 + x · sin x ‘ = ( 1 + x ) ‘ · sin x + 1 + x · ( sin x ) ‘

С помощью этого правила и таблицы производных получим:

1 + x · sin x ‘ = ( 1 + x ) ‘ · sin x + 1 + x · ( sin x ) ‘ = = 1 ‘ + x ‘ · sin x + ( 1 + x ) · cos x = 0 + 1 · x 1 — 1 · sin x + ( 1 + x ) · cos x = = ( 0 + 1 ) · sin x + 1 + x · cos x = sin x + cos x + x · cos x

Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:

y ‘ = 1 + x · sin x · ln x ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + ( 1 + x ) · sin x · ( ln x ) ‘ = = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x

Ответ: y ‘ = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x

Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.

Дана функция y = 2 · s h x — 2 x · a r c t g x , вычислите ее производную.

Решение

Исходная функция является разностью выражений 2 · s h x и 2 x · a r c t g x , значит, y ‘ = 2 · s h x — 2 x · a r c t g x ‘ = 2 · s h x ‘ — 2 x · a r c t g x ‘ . Здесь можно вынести за знак производной число 2 , а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:

y ‘ = 2 · s h x ‘ — 2 x · a r c t g x ‘ = 2 · s h x ‘ — 2 x ‘ · a r c t g x + 2 x · ( a r c t g x ) ‘ = = 2 · c h x — 2 x · ln 2 · a r c t g x + 2 x 1 + x 2 = 2 · c h x — 2 x · ln 2 · a r c t g x — 2 x 1 + x 2

Ответ: y ‘ = 2 · c h x — 2 x · ln 2 · a r c t g x — 2 x 1 + x 2

Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)

Данное правило выглядит следующим образом: f ( x ) g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · g ‘ ( x ) g 2 ( x ) .

Сразу отметим, что g ( x ) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:

f ( x ) g ( x ) ‘ = = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) g ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) g ( x + ∆ x ) — f ( x ) g ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) · g ( x ) — g ( x + ∆ x ) · f ( x ) ∆ x · g ( x + ∆ x ) · g ( x ) = = 1 g 2 ( x ) · lim ∆ x → 0 ( f ( x ) + ∆ f ( x ) ) · g ( x ) — ( g ( x ) + ∆ g ( x ) ) · f ( x ) ∆ x = = 1 g 2 ( x ) · lim ∆ x → 0 f ( x ) · g ( x ) + g ( x ) · ∆ f ( x ) — f ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · ∆ g ( x ) ∆ x = = 1 g 2 ( x ) · lim ∆ x → 0 g x · ∆ f ( x ) — f ( x ) · ∆ g ( x ) ∆ x = = 1 g 2 ( x ) · g ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x — f ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x = = f ‘ ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · g ‘ ( x ) g 2 ( x )

Продифференцируйте функцию y = sin x 2 · x + 1 .

Решение

Эта функция является отношением двух выражений 2 x + 1 и sin x . Воспользуемся приведенным выше правилом дифференцирования дробного выражения и получим:

y ‘ = sin x 2 · x + 1 ‘ = sin x ‘ · 2 · x + 1 — sin x · 2 · x + 1 ‘ 2 · x + 1 2

После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

y ‘ = sin x ‘ · 2 · x + 1 — sin x · 2 · x + 1 ‘ 2 · x + 1 2 = = cos x · ( 2 · x + 1 ) — sin x · 2 x ‘ + 1 ‘ ( 2 · x + 1 ) 2 = cos x · ( 2 · x + 1 ) — sin x · ( 2 · x ‘ + 0 ) ( 2 · x + 1 ) 2 = = cos x · 2 · x + 1 — sin x · ( 2 · 1 · x 1 — 1 + 0 ) ( 2 · x + 1 ) 2 = 2 · x · cos x + cos x — 2 · sin x ( 2 · x + 1 ) 2

Ответ: y ‘ = 2 · x · cos x + cos x — 2 · sin x ( 2 · x + 1 ) 2

Возьмем задачу на применение всех изученных правил.

Дана функция y = 3 e x — x 2 · ln x — 2 · x a x + 2 sin x · a r c cos x , где значение a является положительным действительным числом. Вычислите производную.

Решение

y ‘ = 3 · e x ‘ — x 2 · ln x — 2 · x a x ‘ + 2 sin x · a r c cos x ‘

Поясним, как это получилось.

Первым слагаемым будет 3 · e x ‘ = 3 · e x ‘ = 3 · e x .

x 2 · ln x — 2 · x a x ‘ = x 2 · ln x — 2 · x · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x ‘ a x 2 = = x 2 · ln x ‘ — 2 · x ‘ · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = 2 · x 2 — 1 · ln x + x 2 · 1 x — 2 · 1 · x 1 — 1 · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = 2 · x 2 — 1 · ln x + x 2 · 1 x — 2 · 1 · x 1 — 1 · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = 2 · x · ln x + x — 2 · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = x · ln x · ( 2 — x · ln a ) + x · 1 — 2 · ln a — 2 a x

Вычисляем третье слагаемое:

2 sin x · a r c cos x ‘ = 2 · sin x · a r c cos x ‘ = = 2 · sin x ‘ · a r c cos x + sin x · a r c cos x ‘ = = 2 · cos x · a r c cos x — sin x 1 — x 2

Теперь собираем все, что у нас получилось:

y ‘ = 3 · e x ‘ — x 2 · ln x — 2 · x a x + 2 sin x · a r c cos x ‘ = = 3 · e x — x · ln x · ( 2 — x · ln a ) + x · 1 — 2 · ln a — 2 a x + + 2 · cos x · a r c cos x — sin x 1 — x 2

В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.

После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.

www.zaochnik.com

Популярное:

  • Закон о пособие на ребенка до 18 лет Размер и правила оформления детского пособия до 16 и 18 лет На сегодня Правительство РФ всячески пытается наладить демографическую ситуацию в стране, которая за последние несколько лет значительно ухудшилась. Одним из главных […]
  • Налог с продажи квартиры ребёнка Налог на доход от продажи квартиры Ранее мы разбирали Имущественный вычет при покупке квартиры, Увеличить налоговый вычет за квартиру, Возврат налога при покупке квартиры, порядок действий, список документов. После этого у […]
  • Калькулятор осаго 2018г Реальна ли отмена полисов страховки ОСАГО в 2017-2018 годах? Безаварийный страховой стаж (полных лет): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10+ Если у вас было ДТП Конечный результат может отличаться в зависимости от наличия ДТП во всей страховой […]
  • Категория д осаго Купить ОСАГО категории «Д» практически нельзя Безаварийный страховой стаж (полных лет): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10+ Если у вас было ДТП Конечный результат может отличаться в зависимости от наличия ДТП во всей страховой истории. М 0 1 […]
  • Какое разрешение на 4 Вопрос про соотношение сторон и разрешение экрана. reflasher #1 Отправлено 18 Мар 2015 - 13:37 V_hobbit #2 Отправлено 18 Мар 2015 - 13:41 Делай настройки как раньше и будет тебе счастье. karls0n8 #3 Отправлено 18 Мар 2015 - […]
  • Правила сложения дробей с Сложение дробей При сложении дробей могут встретиться разные случаи. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель […]
  • Законы рф как источник экологического права Законы рф как источник экологического права III. ИСТОЧНИКИ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ПРАВА 1. Понятие, особенности, классификация и система источников экологического права2. Конституционные основы регулирования природопользования и […]
  • Сбербанк возврат страховки бланк заявления Заявление на возврат страховки по кредиту в Сбербанке: образец Страхование кредитов – целенаправленная мера минимизации существующих рисков, дополнительная защита интересов кредитора от ненадежного должника, от не возврата […]