4 правила производной

Урок-зачет по теме «Правила вычисления производных». 10-й класс

Разделы: Математика

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим провожу нестандартные уроки, которые активизируют мысль учеников, стимулируют их к самостоятельному приобретению знаний.

Данный нестандартный урок-зачет по алгебре в 10 классе с использованием технологии деловых игр и информационно-коммуникационных технологий позволит повысить интерес учеников к математике.

Урок развивает навыки нахождения производной функции и нахождение самой функции по ее производной.

На этом уроке создаются оптимальные условия для самовыражения, самореализации и самоопределения учащихся в различных видах познавательной и творческой деятельности, кроме того, такой урок служат хорошим средством разрядки и удачным способом переключения с одного вида работы на другой.

Нестандартные уроки положительно воздействуют на эмоциональную сферу учащихся и служат хорошей подготовкой к ЕГЭ.

Урок прошел быстро, эффективно и на хорошем эмоциональном уровне. Цели, поставленные в начале урока, были достигнуты.

Цели урока:

  • Обучающие: закрепить и проверитьзнания, умения, навыки учащихся по теме «Формулы и правила дифференцирования».
  • Развивающие: развивать мыслительную деятельность учащихся, способность самооценки и взаимооценки; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.
  • Воспитательные: воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, воспитывать уважение к предмету.

Оборудование: мультимедийный проектор, персональный компьютер, магнитная доска, раздаточный материал, доска с заданиями.

План урока.

1. Разминка: «Проверь себя и своего соседа»
2. Биржа знаний.
3. Математическое поле чудес.
4. Умеешь ли ты находить функцию по ее производной?

1. Разминка: «Проверь себя и своего соседа»

Ученикам предложено на карточках найти производные функций

После выполнения работы ученики обменивается тетрадями с соседом по парте. Решения с правильными ответами проектируются на экран.

Критерий выставления оценок записан на доске:

все правильно – «5»
1-2 ошибки – «4»
3-4 ошибки – «3»
В остальных случаях – «2»

2. Биржа знаний

Сейчас мы с вами отправляемся на биржу. Биржа – это рынокнеобычный: здесьможно приобрести не продукты и овощи, а ценные бумаги – акции. Наша «Биржа» – интеллектуальная: мы «покупаем» акции (примеры) и обмениваем свои знания на баллы.
Вы можете дополнительно заработать баллы, внимательно следя за ответом товарища.

3. Математическое поле чудес

Каждый ученик получает задание. Решив его, выходит к доске, отыскивает букву соответствующую его ответу, и записывает напротив своего примера. В итоге должна получиться загадка, которую нужно разгадать.
В результате этой работы каждый ученик может оценить сам себя, если он решил пример правильно, то слово получилось. Если буква не вписывается в слово, значит, пример решен не верно.

Карточки с индивидуальными заданиями:

1. Решите уравнение f(x) = 0, если

  1. f(x) = 2x 2 – x
  2. f(x) = 2x – 5x 2
  3. f(x) = x 3 /3 – 1,5x 2 – 4x
  4. f(x) = 3x 3 – 2x
  5. f(x) = x 2 – 6x
  6. f(x) = 1/2x 2 – 3x
  7. f(x) = 1/6x 3 – 1,5x 2 + 4,5x
  8. f(x) = – 2/3x 3 + x 2 – 12
  9. f(x) = x 4 – x 8
  10. f(x) = 1/2x 2 – 1/4x 4

2. Решите неравенство f(x)> 2

  • f(x) = x3 + 1,5x 2
  • f(x) = 4x – 1/3x 3
  • xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    4 правила производной

    На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

    Примеры. Найти производные функций.

    1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:

    y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

    2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

    y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

    Применяем правило I, формулы 3, 5 и 6 и 1.

    Применяем правило IV, формулы 5 и 1.

    В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

    Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

    Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

    Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

    Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.

    Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

    Учим новые формулы!

    10.3. Производная и ее геометрический смысл

    В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х0+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х0+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.

    Δy=f (х0+Δх) — f (x0). Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.

    Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:

    Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

    Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

    Примеры.

    1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4, а новое —4,01.

    Решение.

    Новое значение аргумента х=х0+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х0+Δх) — f (x0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу=(х0+Δx) 2 — (х0) 2 =(х0) 2 +2x0 · Δx+(Δx) 2 — (х0) 2 =2x0 · Δx+(Δx) 2 =

    =2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

    Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.

    Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х0+Δx) -y (х0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

    2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х0, если f ‘(х0) = 1.

    Решение.

    Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f ‘(х0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

    Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.

    3. Вывести формулу производной функции y=x n .

    Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

    При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n )’ = nx n-1 .

    Вот эти формулы.

    Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

    1. Производная постоянной величины равна нулю.

    2. Икс штрих равен единице.

    3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

    4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

    5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

    6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

    7. Производная синуса равна косинусу.

    8. Производная косинуса равна минус синусу.

    9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

    10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

    Учим правила дифференцирования .

    1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

    2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

    3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

    4. Частный случай формулы 3.

    www.mathematics-repetition.com

    1. Производная 2. Общие правила составления производных 3. Производная сложной функции 4. Механическая интерпретация производной 5. Геометрическая интерпретация. — презентация

    Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемwww.it-n.ru

    Похожие презентации

    Презентация на тему: » 1. Производная 2. Общие правила составления производных 3. Производная сложной функции 4. Механическая интерпретация производной 5. Геометрическая интерпретация.» — Транскрипт:

    2 1. Производная 2. Общие правила составления производных 3. Производная сложной функции 4. Механическая интерпретация производной 5. Геометрическая интерпретация производной

    3 Производная Возьмем какую-нибудь функцию, например Дадим аргументу некоторое произвольное приращение Разность называется приращением функции Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента, т.е. дробь (А) Величина этой дроби зависит и от величины x, и от величины h. Например, при x=2 и h=0,1 значение дроби равна 4,1; при x=3 и h=0,01 величина этой дроби равна 6,01 и т.д. Если теперь мы станем приближать величину h неограниченно к нулю, то числитель и знаменатель дроби (А) станут одновременно приближаться неограниченно также к нулю. При этом величина самой дроби будет также изменяться. Характер такого изменения трудно обнаружить, если ограничиваться рассмотрением отношения (А) лишь в том виде, как оно описано.2

    4 Если же сделаем следующие преобразования, То увидим, что при h 0 выражение 2x+h, следовательно и выражение неограниченно приближаются к выражению 2х. Таким образом, =2х Выражение 2х представляет собой новую функцию, которая получилась из исходной функции с помощью определенного процесса. Этот процесс заключался в вычислении предела отношения приращения функции к приращению аргумента х при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Полученная с помощью такого процесса функция 2х называется производной от функции. Процесс нахождения производной является новым математическим действием. Это действие обозначается поставленным над данной функцией знаком штрих. Например,

    5 Производной от данной функции называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Примеры: Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции. Если h произвольным образом стремится к нулю и если при этом отношение стремится к конечному пределу, то говорят, что функция f(x) в точке дифференцируема.

    6 Общие правила составления производных 1. Производные суммы равна сумме производных. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

    7 3. Производная произведения двух функций равна первой функции, умноженной на производную второй, плюс вторая функция, умноженная на производную первой. 4. Производная дроби равна произведению знаменателя на производную числителя, минус произведение числителя на производную знаменателя, все разделенное на квадрат знаменателя.

    8 5.Производная постоянной величины равна нулю. 6. Производная от аргумента равна 1.

    9 Производная сложной функции и техника дифференцирования. Пусть и Если рассматривать отдельно равенство, то можно считать аргументом u, а функцией y. В этом случае производная от величины y по аргументу u выразится так:. Мы здесь вместо обычного обозначения применили обозначение. Это мы сделали для того, чтобы в дальнейшем не перепутать между собой эту производную с другой производной, которая у нас еще появится. Если рассматривать отдельно равенство u=sin x, то можно считать аргументом x, а функцией u. В этом случае производная от величины u и по аргументу x выразится так:. Теперь станем рассматривать равенства и в их связи друг с другом. Очевидно, что каждому значению аргумента x будет соответствовать определенное значение u, а полученному значению u будет соответствовать определенное значение y. Следовательно, мы можем рассматривать величину y не только как функцию величины u, но и как функцию аргумента x. Функцию y от x, заданную таким образом, называют сложной функцией от x, а величину u называют промежуточной переменной. При такой постановке вопроса возникает задача – найти производную от величину y по аргументу x.

    10 Придадим аргументу x приращение h, тогда величина u получит некоторое приращение, а после этого и величина y получит некоторое свое приращение. По определению производной. Но Поэтому Но и. Поэтому Значит, Таким образом, производная сложной функции по независимой переменной равна её производной по промежуточной переменной, умноженной на производную промежуточной переменной по независимой.

    11 Примеры: 1) 2) 3) 4)

    12 Механическая интерпретация производной Известно, что функция выражает путь, пройденный при свободном падении. Придадим аргументу t приращение h. Тогда приращение функции окажется равным Отношение есть средняя скорость на промежутке времени от момента t до момента t+h. Скоростью же в момент t мы называем тот предел, к которому стремится эта дробь при. Но этот предел по определению как раз есть производная функции. Таким образом, оказывается, что производная от функции, выражающей пройденный путь при прямолинейном движении, выражает скорость этого движения. В этом и заключается механический смысл производной.

    13 Вычислив, найдем формулу скорости движения v=gt, где gt есть как раз производная функции Эту производную можно было получить и так: Кратко говорят: Производная от пути по времени есть скорость. Пример: Пройденный путь в зависимости от времени выражается функцией, где a и b – постоянные. Найти скорость движения.

    14 Геометрическая интерпретация производной К кривой PG проведена секущая АВ через две её точки М и N. Оставляя точку М неподвижной, вообразим, что точка N движется по кривой, неограниченно приближаясь к М. Тогда секущая АВ станет поворачиваться вокруг неподвижной точки М, стремясь к предельному положению КТ. Это предельное положение секущей называется касательной к кривой в точке М. Определение. Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку М и через другую точку N кривой, при условии, что точка N приближается по кривой неограниченно к неподвижной точке М. Условимся называть тангенс угла между осью х и касательной к кривой угловым коэффициентом касательной P G M N K T

    15 Задача : Найти угловой коэффициент касательной к кривой в произвольно взятой на ней точке М(x; ) Возьмем на кривой точку и проведем MQ OX. Тогда Если станем приближать точку М к точке N, то секущая станет приближаться к положению касательной АВ. При этом h стремиться к нулю, а величина угла QMN к величине угла PAM. Но последний предел есть производная функции Следовательно,, т.е. угловой коэффициент касательной равен производной функции. М N A T B Q PS y x O х X+h

    www.myshared.ru

    Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

    Правила вычисления производных

    Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

    Правило 1 (производная от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

    где c – любое число.

    Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

    Правило 2 (производная суммы функций) . Производная суммы функций вычисляется по формуле

    то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

    Правило 3 (производная разности функций) . Производная разности функций вычисляется по формуле

    то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

    Правило 4 (производная произведения двух функций) . Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

    Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

    Правило 5 (производная частного двух функций) . Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

    ,

    Определение . Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

    При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.

    Правило 6 (производная сложной функции) . Производная сложной функции вычисляется по формуле

    Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .

    Таблица производных часто встречающихся функций

    В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

    www.resolventa.ru

    Урок алгебры и начал анализа по теме: «Производная сложной функции»

    Разделы: Математика

    Тема: “Производная сложной функции ”.

    Тип урока: – урок изучения нового материала.

    Форма урока: применение информационных технологий.

    Место урока в системе уроков по данному разделу: первый урок.

    Цели:

  • научить распознавать сложные функции, уметь применять правила вычисления производных; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
  • развивать готовность к информационно-учебной деятельности через применение информационных технологий.
  • воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.
  • Оборудование: электронные файлы с печатным материалом, индивидуальные компьютеры.

    I. Организационный момент (0.5 мин.).

    II. Постановка целей. Мотивация учащихся (1 мин.).

    III. Актуализация опорных знаний (5 мин.).

    1. Дать определение производной функции.
    2. Назовите правила вычисления производной.

    3. Устная работа.

    Найдите производные функций.

    б) f(x) = 3x 2 – 7x + 5;

    в) f(x) = ;

    д) f(x) = (2x – 5)(x + 3).

    4. Правила вычисления производных.

    Повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением.

    IV. Программированный контроль (5 мин.).

    у =

    у = .

    1/cos 2 x + 1/sin 2 x

    1/cos 2 x – 1/sin 2 x

    1/sin 2 x – 1/cos 2 x

    Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком “–”.

    V. Новый материал (5 мин.).

    Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =

    Для того, чтобы найти производную данной функции, надо сначала вычислить производную внутренней функции u = v(x) = xІ + 7x + 5, а затем вычисляют производную функции g(u) = .

    Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v, и пишут:

    Область определения сложной функции – множество всех тех х из области определения функции v , для которых v(x) входит в область определения функции g.

    Пусть сложная функция у = f(x) = g(v(x)) такова, что функция у = v(x) определена на промежутке U , а функция u = v(x) определена на промежутке Х и множество всех её значений входит в промежуток U. Пусть функция u = v(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х , а функция y = g(u) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция y = f(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х , вычисляемую по формуле

    Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u, умноженной на производную u по x.

    Формулу записывают ещё так:

    В точке х Х зададим приращение аргумента , (х+ х) Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение , а функция y = g(u) получит приращение D y. Надо учесть, что , так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и при .

    При условии, что , имеем

    получим

    VI. Закрепление изученного материала (12 мин.).

    Применим полученную формулу для решения задач.

    Найти производную функции у = (1+х 2 ) 100 .

    Пример 2 и Пример 3 из учебника (устно разобрать решение).

    Решение примеров № 304, № 305, № 306 с последующей проверкой по компьютеру.

    VII. Примеры для самостоятельного решения (8 мин.).

    На рабочем столе компьютера.

    Папка: “Производная сложной функции”. Документ: “Самостоятельная работа”.

    1. у = (х 23х + 1) 3 – 1-я группа.
    2. у = (1 + х2х 2 ) 10 – 1-я группа.
    3. У = ( + 2) 2 – 2-я группа.
    4. У = (2 – ) 2 – 2-я группа.

    1. у’ = (6х – 9)(х 2 – 3х + 1).
    2. у’ = (10 – 40х)(1 + х – 2х 2) .
    3. у’ = 1 +
    4. у’ = 1 –

    VIII. Индивидуальные задания (7 мин.).

    На рабочем столе компьютера.

    Папка: “Производная сложной функции”. Документ: “Индивидуальные задания”.

    1. y = 2x + 3,6 sin 5 (p — x);
    2. y = sin (2x 2 – 3).
    3. y = (1 + sin3x) cos3x;
    4. y = tg x (tg x – 1).

    IX. Итог урока (1 мин.).

    X. Задание на дом (0.5 мин.).

    §4. п16. № 224. Индивидуальные задания на дискетах.

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Популярное:

    • Приказ на проезд по платным дорогам Транспондер Проезд по платным дорогам / Интероперабельность Проезд с одним транспондером по другим дорогам Все клиенты скоростного участка М-11 от Москвы до Солнечногорска могут оплачивать проезд своим транспондером на платных […]
    • Правила еэк оон no 8 Правила еэк оон no 8 Настоящие Правила применяются к задним опознавательным для: сочлененных транспортных средств классов II и III категории М2; транспортных средств категории N3, за исключением тягачей, буксирующих […]
    • Правило для админов в кс 16 Реальные пацаны - Форум игровых серверов Counter Strike 1.6 Правила Для Админов Сервера Реальные Пацан. Нравится Не нравится Pickwick 27 авг. 2013 Запрещено: 1 . Материться и оскорблять игроков на наших серверах. 2 . […]
    • Правила лечения мышц Что делать, если сорвал спину: главные правила лечения Растяжение спинных мышц — достаточно частая и весьма серьезная травма. Основными признаками заболевания являются боли и невозможность двигаться (скованность). Но что делать […]
    • Заявление загранпаспорт нового образца челябинск Заявление загранпаспорт нового образца челябинск Как оформить загранпаспорт быстро и без очередей? На сегодняшний день в РФ существует два вида действующих заграничных паспортов – старого и нового образца. Загранпаспорт старого […]
    • Расчет госпошлины на снижение размера алиментов Расчет госпошлины на снижение размера алиментов Суды придерживаются следующей позиции: Госпошлина рассчитывается от суммы, на которую уменьшается размер алиментов (от цены иска). Пример расчета размера госпошлины в суд при […]
    • 102 федеральный закон ипотека ФЗ об ипотеке, залоге недвижимости: последняя редакция Новый закон об ипотеке с нетерпением ждали, те кто планирует взять ипотечный кредит в 2017 году. Какие обновления были приняты на текущий год в законе, и какой прогноз […]
    • Что значит в алиэкспресс спор закрыт Что значит в алиэкспресс спор закрыт http://www.aliexpress.com/snapshot/6105144657.htmlЗаказал супруге часы, когда оставалось 4 дня до завершения заказа открыл спор, продавец отписался мне и мило попросил закрыть спор с […]