Динамика точки законы динамики

Техническая механика

Основные понятия и аксиомы динамики

Динамика есть часть теоретической механики, изучающая механическое движение тел в зависимости от сил, влияющих на это движение.

Основы динамики заложил итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642) , который опроверг существовавшее в науке со времен Аристотеля (IV в. до н.э.) заблуждение о том, что из двух тел, падающих на Землю, более тяжелое движется быстрее. Галилей установил, что причиной изменения скорости тела является сила, т. е. любое ускорение или замедление вызывается силовым воздействием.
На основе выводов Г. Галилея англичанин И. Ньютон сформулировал основные аксиомы (законы) движения, ставшие фундаментом, на который сотни лет опирается классическая физика, в том числе и современная.

Динамика основывается на ряде положений, которые являются аксиомами и называются законами динамики.
Прежде чем перейти к рассмотрению этих законов, необходимо раскрыть сущность понятий материальной точки и изолированной материальной точки.
Под материальной точкой подразумевают некое тело, имеющее определенную массу (т. е. содержащее некоторое количество материи), но не имеющее линейных размеров (бесконечно малый объем пространства).
Изолированной считается материальная точка, на которую не оказывают действие другие материальные точки.
В реальном мире изолированных материальных точек, как и изолированных тел, не существует, это понятие является условным.

Первый закон Ньютона (первый закон динамики)

Первый закон динамики, называемый аксиомой инерции, формулируется в применении к материальной точке так: изолированная материальная точка либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно .

В кинематике было установлено, что прямолинейное равномерное движение является единственным видом движения, при котором ускорение равно нулю, поэтому аксиому инерции можно сформулировать следующим образом: ускорение изолированной материальной точки равно нулю.

Итак, изолированная от влияния окружающих тел материальная точка не может сама себе сообщить ускорение. Это свойство тел называют инерцией или инертностью , т. е. инертность (инерция) – свойство тел сохранять скорость по модулю и направлению (в т. ч. и покой – состояние, при котором скорость равна нулю). Изменить скорость, т. е. сообщить материальной точке ускорение способна только приложенная к ней сила.

Второй закон Ньютона (второй закон динамики)

Зависимость между силой и сообщаемым ею ускорением устанавливает второй закон Ньютона, который гласит, что ускорение, сообщаемое материальной точке силой, имеет направление силы и пропорционально ее модулю .

Если сила F1 сообщает материальной точке ускорение a1 , а сила F2 сообщает этой же точке ускорение a2 , то на основании второго закона Ньютона можно записать:

Следовательно, для данной материальной точки отношение любой силы к вызываемому ею ускорению есть величина постоянная. Эту величину (отношение силы к ускорению) называют массой материальной точки, и обозначают ее m :

На основании этого равенства можно сделать выводы:
— две материальные точки, имеющие одинаковые массы, получат от одной и той же силы одинаковые ускорения;
— чем больше масса точки, тем большую силу необходимо приложить, чтобы придать данной точке требуемое ускорение .

Что такое масса тела

Масса – одна из основных характеристик любого материального объекта, определяющая его инертные и гравитационные свойства. Ньютон называл массой количество материи, заключенной в теле, считая массу каждого тела величиной постоянной.
Современное представление о мире, после открытий, совершенных А. Эйнштейном, опровергает этот вывод И. Ньютона – масса не является постоянной величиной для тела, она зависит от скорости, с которой это тело движется. Так, например, наблюдения за движением заряженных частиц в ускорителях показали, что инертность частицы (т. е. способность сохранять свою скорость) возрастает с увеличением ее скорости.

Теория относительности устанавливает следующую зависимость между массой тела, находящегося в покое, и массой движущегося тела:

где m – масса движущегося тела, m0 – масса покоящегося тела (масса покоя), v = скорость движения тела, c – скорость света.

Из этой формулы видно, что чем больше скорость движения тела, тем больше его масса и, следовательно, тем труднее сообщить ему дальнейшее ускорение. При скоростях близких к скорости света масса тела стремится к бесконечности, и для дальнейшего ускорения такого тела требуется сила бесконечной величины.
Очевидно, что материальное тело не может двигаться со скоростью света, поскольку не существует реальная сила, способная ускорить его до такого состояния.

На основании теории относительности современная наука дает массе такое определение: масса есть мера инертности тела .
Однако заметное изменение массы (инертности) тела наблюдается лишь при очень больших скоростях, близких к скорости света, поэтому в классической физике массу принимают величиной постоянной, при этом погрешности, возникающие в расчетах, являются ничтожно малыми.

Второй закон Ньютона выражается равенством:

которое называется основным уравнением динамики и читается так: сила есть вектор, равный произведению массы точки на ее ускорение .
Основное уравнение динамики является уравнением движения материальной точки в векторной форме.

Ускорение свободного падения

Опытным путем установлено, что под действием притяжения Земли в вакууме тела падают с одинаковым ускорением, которое называется ускорением свободного падения.

Следует отметить, что это явление будет верным для конкретного географического места на поверхности планеты или над ее поверхностью – ускорение свободного падения не является постоянной величиной и зависит, в частности, от расстояния между центром тяжести тела и центром тяжести нашей планеты, а также от существования центробежной силы инерции, вызываемой вращением Земли.
Так, на полюсах ускорение свободного падения g ≈ 9,83 м/с 2 , а на экваторе g ≈ 9,78 м/с 2 . Но в приближенных расчетах принимают среднее значение, равное примерно g ≈ 9,81 м/с 2 , при этом погрешности результатов незначительны.

Итак, сила тяжести тела равна его массе, умноженной на ускорение свободного падения. Если сила тяжести одного тела G1 = m1/g , а второго тела – G2 = m2/g , то

т. е. силы тяжести тел пропорциональны их массам, что позволяет сравнивать массы различных тел путем взвешивания (сравнивания их сил тяжести при помощи весов).

Из второго закона Ньютона следует, что под действием постоянной силы находившаяся в покое свободная материальная точка движется прямолинейно равнопеременно (с постоянным ускорением).

Движение под действием постоянной силы может быть и прямолинейным и криволинейным (в последнем случае материальная точка имеет начальную скорость, вектор которой не совпадает с вектором силы). Пример движения под действием постоянной силы – свободное падение тел.

Третий закон Ньютона

К основным законам динамики относится и рассмотренная в Статике аксиома взаимодействия, или третий закон Ньютона.
Применительно к материальной точке закон формулируется так: силы взаимодействия двух материальных точек по модулю равны между собой и направлены в противоположные стороны (действие равно противодействию).

На основании этого закона можно сделать вывод, что сила, как мера взаимодействия между телами, не может проявляться без пары, т. е. если возникает какое-либо силовое воздействие, то существует и «двойник» этого силового воздействия, равный по модулю и противоположный по вектору.

Правильные ответы на тестовые вопросы по разделу «Динамика»:
Тест №1 2-3-2-1-1
Тест №2 4-2-4-3-1
Тест №3 3-1-1-2-4
Тест №4 4-2-1-2-3
Тест №5 1-1-4-3-2
Тест №6 1-3-3-2-4
Тест №7 2-2-4-1-3

k-a-t.ru

Динамика точки. Основные понятия и определения;

Лекция 1

Изучение данных вопросов необходимо для динамики движения центра масс механической системы, динамики вращательного движения твердого тела, кинетического момента механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

В разделе кинематики исследовалось движение тел без учета причин, обеспечивающих это движение. Рассматривалось движение, заданное каким-либо способом и определялись траектории, скорости и ускорения точек этого тела.

В разделе динамики решается более сложная и важная задача. Определяется движение тела под действием сил приложенных к нему, с учетом внешних и внутренних условий, влияющих на это движение, включая самих материальных тел.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Понятие о силе, как о величине, характеризующей меру механи­ческого взаимодействия материальных тел, было введено в статике. Но при этом в статике мы, по существу, считали все силы постоян­ными. Между тем, на движущееся тело наряду с постоян­ными силами (постоянной, например, можно считать силу тяжести) действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным об­разом зависеть от времени, от положения тела и от его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при посте­пенном выключении или включении реостата; от положения тела зависит сила упругости пружины; от скорости движения зависят силы сопро­тивления среды (воды, воздуха).

К понятию об инертности тел мы приходим, сравнивая результаты действия одной и той же силы на разные материальные тела. Опыт показывает, что если одну и ту же силу приложить к двум разным, свободным от других воздействий покоящимся телам, то в общем случае по истечении одного и того же промежутка времени эти тела пройдут разные расстояния и будут иметь разные скорости.

Инертность и представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Если, например, при действии одина­ковых сил изменение скорости первого тела происходит медленнее, чем второго, то говорят, что первое тело является более инертным, и наоборот.

Количественной мерой инертности данного тела является фи­зическая величина, называемая массой тела. В механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

В общем случае движение тела зависит не только от его суммар­ной массы и приложенных сил; характер движения может еще зави­сеть от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц (т. е. от распределения масс).

Чтобы при первоначальном изучении динамики иметь возможность отвлечься от учета влияния формы тел (распределения масс), вво­дится понятие о материальной точке.

Материальной точкой называют материальное тело (тело, имеющее массу), размерами которого при изучении его движения можно пренебречь.

Практически данное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела при его движении, очень велики по сравнению с размерами самого тела. Кроме того, как будет показано в динамике системы поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Наконец, материальными точками можно считать частицы, на кото­рые мы будем мысленно разбивать любое тело при определении тех или иных его динамических характеристик.

Точку будем называть изолированной, если на точку не оказывается никакого влияния, никакого действия со стороны других тел и среды, в которой точка движется. Конечно, трудно привести пример подобного состояния. Но представить такое можно.

Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

Законы динамики

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений над движением тел и проверенные обширной общественно-исторической практикой человечества. Систематически эти законы были впервые изложены И. Ньютоном.

Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямо­линейного движения до тех пор, пока приложенные силы не за­ставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точ­кой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи — пребывать неизменно в движении и устанавливает для материальных тел эквивалентность состояний покоя и движения по инерции. Из него следует, что если F=0, то точка покоится или движется с постоян­ной по модулю и направлению скоростью ( =const); ускорение точки при этом равно нулю: = 0); если же движение точки не является равномерным и прямолинейным, то на точку действует сила.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета (иногда ее условно называют неподвижной). По данным опыта для нашей Сол­нечной системы инерциальной является система отсчета, начало кото­рой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Второй закон (основной закон динамики) гласит: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством .

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость ma = F.

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непо­средственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса кото­рой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействую­щей , равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражаю­щее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

или .

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между мате­риальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две ма­териальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия между свободными материаль­ными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы.

Проведём небольшой эксперимент. Попробуем перемещать тяжёлое тело по некоторой криволинейной траектории. Сразу обнаружим, что тело сопротивляется изменению направления движения, изменению скорости. Возникает сила со стороны тела, противодействующая силе , той, которую мы прикладываем к нему.

Эту силу, с которой материальная точка сопротивляется изменению своего движения, будем называть силой инерции этой точки — . По третьему закону она равна и противоположна действующей на точку силе , . Но на основании второй аксиомы . Поэтому .

Итак, сила инерции материальной точки по величине равна произведению её массы на ускорение

.

И направлена эта сила инерции в сторону противоположную вектору ускорения.

Например, при движении точки по кривой линии ускорение . Поэтому сила инерции

.

То есть её можно находить как сумму двух сил: нормальной силы инерции и касательной силы инерции.

Рис.1

Необходимо заметить, что сила инерции материальной точки, как сила противодействия, приложена не к точке, а к тому телу, которое изменяет её движение. Это очень важно помнить.

Третий закон динамики, как устанавливающий характер взаимодей­ствия материальных частиц, играет большую роль в динамике системы.

Четвертый закон (закон независимого действия сил).При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

;

studopedia.su

Динамикой (греч. dynamikos — сила) называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.

В динамике, в отличие от кинематики, где движение тел рассматривалось с чисто геометрической точки зрения, при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих тел.

В статике было введено понятие о силе, как об основной мере механического действия, оказываемого на материальное тело. Однако, на движущееся тело вместе с постоянными силами действуют переменные силы. При движении тела их модули и направления изменяются. Переменными силами могут быть и заданные силы, и реакции связей.

Переменные силы могут зависеть определенным образом от времени, положения тела и его скорости.

В так называемой классической динамике изучают движения материальных тел, происходящие со скоростями, не близкими к скорости света, в теории относительности – движения тел со скоростями порядка скорости света, а в квантовой механике – движения микрочастиц.

При первоначальном изучении динамики вводится абстрактное понятие о материальной точке, обладающей массой. Изучение динамики начинают с динамики материальной точки.

Классическую динамику подразделяют на динамику материальной точки и динамику системы материальных точек, которая, в свою очередь, состоит из следующих разделов:

  • динамика абсолютно твердого тела,
  • динамика упруго (или пластически) деформируемого тела,
  • динамика жидкости и газа.

Систематически законы динамики впервые были изложены Исааком Ньютоном. Динамика базируется на трех основных законах, называемых законами Ньютона.

www.calc.ru

Динамика материальной точки. Основные положения

Динамика — количественное описание взаимодействия тел, определяющего характер их движения Движение по инерции — движение, происходящее без внешних воздействий

Принцип инерции Галилея: если на тело не действуют силы, оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Инерциальные системы отсчета (ИСО) — системы отсчета, в которых тело, не взаимодействующее с другими телами, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения Преобразования Галилея:

где х — координата тела в ИСО X; х’ — координата тела в ИСО X’, движущейся относительно X со скоростью v

Закон сложения скоростей:

где vx — скорость тела в ИСО X; vx’— скорость тела в ИСО Х’, движущейся относительно X со скоростью V.

Принцип относительности Галилея: во всех инерциальных системах отсчета законы механики имеют одинаковый вид

Первый закон Ньютона: тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние Сила — векторная физическая величина, являющаяся мерой взаимодействия тела с другими телами, в результате которого тело приобретает ускорение (или изменяет свою форму и размеры)

Единица силы — ньютон (Н).

Инертность — физическое свойство тела в отсутствие трения оказывать сопротивление изменению его скорости

Масса (инертная масса) — физическая величина, характеризующая меру инертности тела Единица массы — килограмм (кг)

Принцип суперпозиции сил: результирующая сила, действующая на частицу со стороны других тел, равна векторной сумме сил, с которыми каждое из этих тел действует на частицу.

Второй закон Ньютона: в инерциальной системе отсчета ускорение тела прямо пропорционально векторной сумме всех действующих на него сил и обратно пропорционально массе тела

Третий закон Ньютона: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине, противоположны по направлению и приложены к разным телам:

Все механические явления определяются электромагнитным и гравитационным взаимодействиями Электромагнитными силами являются сила упругости и сила трения. Упругое воздействие на тело — воздействие, в результате которого тело восстанавливает форму и размеры.

Закон Гука: сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна его удлинению и направлена противоположно направлению деформации.

Сила реакции опоры — сила, действующая на тело со стороны опоры перпендикулярно ее поверхности Сила натяжения — сила упругости, действующая на тело со стороны нити или пружины

Сила трения — сила, препятствующая относительному перемещению соприкасающихся тел, направленная вдоль поверхности их контакта. Сила трения покоя равна по величине и противоположно направлена силе, приложенной к покоящемуся телу параллельно поверхности его контакта с другим телом. Максимальная сила трения покоя пропорциональна силе реакции опоры:

где μп — коэффициент трения покоя. Сила трения скольжения

где μ — коэффициент трения скольжения.

Сила трения качения

где μкач — коэффициент трения качения (μкач -11 Н • м 2 /кг 2 — гравитационная постоянная Сила тяжести — гравитационная сила, действующая на тело Вблизи поверхности Земли сила тяжести, действующая на тело массой m,

Вес тела — суммарная сила упругости тела, действующая при наличии силы тяжести на все связи (опору, подвес)

Вес тела может быть не равен силе тяжести, если на тело кроме силы тяжести действуют и другие силы Вес тела в лифте, находящемся в покое или движущемся равномерно, равен силе тяжести Перегрузка — увеличение веса тела, вызванное его ускоренным движением

Невесомость — состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести. Вес тела в состоянии невесомости равен нулю.

5terka.com

Динамика точки законы динамики

Учитывая, что масса тела есть величина постоянная, выражение (1a) можно записать в виде так называемого уравнения движения материальной точки (основной закон динамики) F = d(mv)/dt = dp/dt, (1b)

где векторная величинаp= mv называется импульсом (количеством движения) материальной точки.

Уравнение (1b) дает возможность по иному сформулировать второй закон Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Основной закон динамики материальной точки выражает принцип причинности в классической механике: зная начальное состояние материальной точки (ее координаты и скорость в начальный момент времени) и действующую на нее силу, по уравнению (1c) можно рассчитать состояние материальной точки в любой последующий момент времени.

В механике действует принцип независимости действия сил : если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Т.о., ускорение а, приобретаемое материальной точкой массы m под действием одновременно приложенных к ней сил F1,F2. Fn равно a=ai=Fi/m=(1/m)Fi=F/m,

где F = Fi — результирующая сила. Т.о., если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то согласно этому принципу под силой F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Для плоской траектории вектор F направлен к центру кривизны траектории (как и вектор а) и он может быть разложен на две составляющие — касательную к траектории (касательная или тангенциальная сила, Ft) и нормальную к траектории (нормальная или центростремительная сила, Fn): F =Ft +Fn, причем согласно соотношению (1) касательное и нормальные ускорения равны аt =Ft /m,an =Fn/m,а для нормальной (центростремительной) силы имеем Fn = mv 2 /R, где R — радиус кривизны траектории.

Если Fn= 0, то имеем прямолинейное движение; если Fn= const, то имеем движение по окружности (для пространственной траектории — по винтовой линии). Если Ft= 0, то имеем равномерное движение; если Ft = const, то имеем равноускоренное движение (если вектор Ft совпадает по направлению с вектором скорости v, то движение равноускоренное; если эти векторы направлены в разные стороны, то движение равнозамедленное).

С учетом выше приведенного рассмотрения первый закон Ньютона можно сформулировать несколько иначе: ускорение материальной точки в инерциальной системе отсчета равно нулю в случае равенства нулю равнодействующей сил или при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел.

Первый закон Ньютона можно получить из второго закона, однако первый закон является самостоятельным, поскольку постулирует существование инерциальных систем отсчета.

studfiles.net

Популярное:

  • Значение закона сохранения энергии Глава IV. Философское значение законов сохранения и превращения в современной физике Философское значение законов сохранения и превращения в современной физике Развитие естествознания, и прежде всего физики, дает новые и новые […]
  • Субсидия измаил Субсидия измаил Бланки оформлення субсидії С 1 мая 2018 года постановлением Кабинета Министров Украины от 27.04.2018г. № 329 утверждена новая редакция Положения о порядке назначения и предоставления населению субсидий для […]
  • Пенсии с января 2013 года Индексацию пенсий некоторым работающим пенсионерам могут вернуть С такой законодательной инициативой 1 выступил депутат Госдумы Борис Резник. Планируется, что пенсия будет индексироваться тем пенсионерам, размер пенсии которых […]
  • Алименты родителям закон Кое-что об алиментах Часть IV. Что мы должны своим родителям? Мы много говорили об алиментарных обязательствах родителей перед своими детьми. Теперь поговорим о том, что же должны дети своим родителям. Когда и как родитель […]
  • Создать картина преступления Картина преступления 2. Деньги и драгоценные камни, +1 к доброй репутации 3. Деньги и картина Основная статья: Квесты (Oblivion) Картина преступления (ориг. Canvas the Castle) — сторонний квест фракции Коррол в игре The […]
  • Биатлон франция штраф 4 минуты Реферат: История биатлона Биатлон возник в результате соревнований, связанных с гонками на лыжах и стрельбой, проводимых на протяжении многих лет в нашей стране и за рубежом. Первые соревнования в передвижении на лыжах со […]
  • Правила отпуска бронхолитина Порядок отпуска комбинированных препаратов и прекурсоров из аптек Внимание! При пользовании статьями, консультациями и комментариями просим Вас обращать внимание на дату написания материала Вопрос: Подскажите, пожалуйста, такие […]
  • Алчевск пенсионный фонд график выдачи пенсий Новости Алчевска Информация 7 971 запись предложить новость КП «АДЭУ» ведутся ремонтные работы по благоустройству города Сегодня, 3 августа, коммунальным предприятием «Алчевский дорожно-эксплуататционный участок» в ночную […]