Мнемоническое правило тригонометрии

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Начальные сведения

Тригонометрия изучается на единичной окружности, так давайте внимательно рассмотрим единичную окружность.

Введено определение угла поворота и объяснено как находится его величина, приведены примеры и графические иллюстрации.

В тригонометрии одинаково часто пользуются градусной и радианной мерой углов, поэтому полезно знать какими формулами они связаны и как переходить от градусов к радианам и обратно.

Тригонометрические функции

Даны определения основных тригонометрических функций: синуса sin, косинуса cos, тангенса tg и котангенса ctg, показана их связь с определениями, известными из геометрии.

Узнайте свойства sin, cos, tg и ctg угла, связанные со знаками по координатным четвертям, с периодичностью и со значениями тригонометрических функций противоположных углов.

Научитесь находить значения тригонометрических функций по определению, с использованием формул и таблиц значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Запомните значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса из таблицы их основных значений, научитесь пользоваться таблицами приближенных значений Брадиса.

Обратные тригонометрические функции

Приведены определения и обозначения обратных тригонометрических функций arcsin, arccos, arctg и arcctg, показано их положение на единичной окружности.

Перечислены свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа вместе с формулами и их доказательствами.

Запомните основные значения обратных тригонометрических функций, научитесь находить их приближенные значения по таблицам sin, cos, tg и ctg Брадиса.

Формулы тригонометрии

Познакомьтесь с основными тригонометрическими формулами, перепишите себе все таблицы формул и всегда держите их перед глазами, изучая тригонометрию.

Разберитесь с основными тригонометрическими тождествами, запомните формулы и рассмотрите их вывод.

Научитесь пользоваться формулами приведения, их запоминанию способствует мнемоническое правило, посмотрите на примеры применения формул приведения.

Разберитесь в формулах сложения, рассмотрите их доказательство и конкретные примеры их применения.

Дан список формул двойного угла, приведено их доказательство и показаны примеры применения, перечислены формулы других кратных углов: тройного, четверного и т.д.

Запомните еще ряд формул тригонометрии — формулы половинного угла, рассмотрите решения примеров с их использованием.

Рассмотрите формулы, позволяющие понижать степень тригонометрических функций, ознакомьтесь с их применением на практике.

Дан вывод формул суммы синусов, суммы косинусов, разности синусов и разности косинусов, разобрано как они применяются.

Приведен список формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус, показано их доказательство и примеры использования.

Познакомьтесь с формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла, разберите их применение на примерах.

Рассмотрите основные формулы, использующиеся при работе с обратными тригонометрическими функциями.

www.cleverstudents.ru

Мнемоническое правило для запоминания формул приведения

Разделы: Математика

Ход урока

Когда мы находим значения тригонометрических функций с помощью единичной окружности, мы используем уже известные табличные значения.

Обратим внимание, что таблица значений тригонометрических функций составлена для углов от 0° до 90°. Это объясняется тем, что значения тригонометрических функций для остальных углов сводятся к значениям тригонометрических функций для острых углов.

А формулы, которые позволяют сделать это, называются формулами приведения.

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения. Правда для этого надо хорошо знать основы тригонометрии – единичную окружность и способы работы с ней.

Сначала мы с учениками внимательно просматриваем формулы приведения и замечаем сходство и различия в них.

  1. Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.
  2. В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: и острого угла α, а в правой части аргумент α.
  3. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Мнемоническое правило

Достаточно задать себе два вопроса:

1. Меняется ли функция на кофункцию?
Ответ: Если в формуле присутствуют углы или — это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Мнемоническое правило для запоминания формул приведения

Математика – это сложная точная наука, в которой очень много всевозможных формул, правил, которые, как это может показаться, невозможно запомнить. Но зачастую есть какие-либо хитрости, которые помогают понять, каким образом можно решить тот или иной пример, либо значительно сократить материал, который нужно выучить.

Так, когда начинается изучение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, и формулы приведения, перед глазами учеников предстает вот такая таблица.

На первый взгляд может данный материал показаться очень сложным. Кажется, что на изучение данной таблицы уйдет уйма времени. На самом же деле не обязательно заучивать значения каждого угла. Достаточно просто знать мнемоническое правило для запоминания формул приведения.

Вспомним, что вообще такое формула приведения и для чего они нужны. Итак, формулы приведения – это такие формулы, которые позволяют сделать вычисления проще, а сложные аргументы тригонометрических функций привести к аргументам первой четверти.

Каким же образом можно запомнить или понять формулы приведения? Существует специальное мнемоническое правило, то есть прием, который позволяет проще запоминать информацию или образование специальных ассоциаций.

Мнемоническое правило для формул приведения (лошадиное правило).

  1. Сначала нужно определить, меняется ли функция на кофункцию (например, синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Для этого надо подвигать головой вдоль той оси, на которой располагается ключевая точка. Если голова мотает вдоль горизонтальной прямой, мы как бы говорим, что «нет», функция остается неизменной.

Если же, получается мотать головой вдоль вертикальной прямой, то мы как бы говорим «да», надо изменить функцию на конфункцию.

  1. Далее определяем, какой на выходе получается знак «-» или «+». Знак ставим тот, который несет в себе левая исходная часть.

Вот такое несложное правило, которое говорит нам о том, что если понимать, откуда берутся те или иные формулы и правила, то запомнить их станет гораздо проще.

www.timenews24.ru

Формулы приведения: доказательство, примеры, мнемоническое правило

Данная статья посвящена подробному изучению тригонометрических формул приведения. Дан полный список формул приведения, показаны примеры их использования, приведено доказательство верности формул. Также в статье дано мнемоническое правило, которое позволяет выводить формулы приведения, не запоминая каждую формулу.

Формулы приведения. Список

Фомулы приведения позволяют приводить основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов (от 0 до π 2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко применяются при решении задач тригонометрии.

Прежде, чем мы запишем сами формулы, уточним несколько важных для понимания моментов.

  • Аргументами тригонометрических функций в формулах приведения являются угды вида ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Здесь z — любое целое число, а α — произвольный угол поворота.
  • Не обязательно учить все формулы приведения, количество которых довольно внушительно. Существует мнемоническое правило, которо позволяет легко вывести нужную формулу. Речь о мнемоническом правиле пойдет позже.

Теперь перейдем непосредственно к формулам приведения.

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов. запишем все формулы в виде таблицы.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α

В данном случае формулы записаны с радианами. Однако можно записать их и с использованием градусов. Достаточно только перевести радианы в градусы, заменив π на 180 градусов.

Примеры использования формул приведения

Покажем, как пользоваться формулами приведения и как указанные формулы применяются при решении практических примеров.

Угол под знаком тригонометрической функции можно представить не одним, а множеством способов. Например, аргумент тригонометрической функции может быть представлен в видах ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Продемонстрируем это.

Возьмем угол α = 16 π 3 . Это угол можно записать так:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π · 2 α = 16 π 3 = — 2 π 3 + 2 π · 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 — π 6 + 2 π

В зависимости от представления угла используется соответствующая формула приведения.

Возьмем тот же угол α = 16 π 3 и вычислим его тангенс

Пример 1. Использование формул приведения

α = 16 π 3 , t g α = ?

Представим угол α = 16 π 3 в виде α = π + π 3 + 2 π · 2

Этому представлению угла будет соответствовать формула приведения

t g ( π + α + 2 π z ) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π · 2 = t g π 3

Воспользовавшись таблицей, укажем значение тангенса

Теперь используем другое представление угла α = 16 π 3 .

Пример 2. Использование формул приведения

α = 16 π 3 , t g α = ? α = — 2 π 3 + 2 π · 3 t g 16 π 3 = t g — 2 π 3 + 2 π · 3 = — t g 2 π 3 = — ( — 3 ) = 3

Наконец, для третьего представления угла запишем

Пример 3. Использование формул приведения

α = 16 π 3 = 3 π 2 — π 6 + 2 π t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α t g α = t g ( 3 π 2 — π 6 + 2 π ) = c t g π 6 = 3

Теперь приведем пример на использование формул приведения посложнее

Пример 4. Использование формул приведения

Представим sin 197 ° через синус и косинус острого угла.

Для того, чтобы можно было применять формулы приведения, нужно представить угол α = 197 ° в одном из видов

± α + 360 ° · z , 90 ° ± α + 360 ° · z , 180 ° ± α + 360 ° · z , 270 ° ± α + 360 ° · z . Согласно условию задачи, угол должен быть острым. Соответственно, у нас есть два способа для его представления:

197 ° = 180 ° + 17 ° 197 ° = 270 ° — 73 °

sin 197 ° = sin ( 180 ° + 17 ° ) sin 197 ° = sin ( 270 ° — 73 ° )

Теперь посмотрим на формулы приведения для синусов и выберем соответствующие

sin ( π + α + 2 πz ) = — sinα sin ( 3 π 2 — α + 2 πz ) = — cosα sin 197 ° = sin ( 180 ° + 17 ° + 360 ° · z ) = — sin 17 ° sin 197 ° = sin ( 270 ° — 73 ° + 360 ° · z ) = — cos 73 °

Мнемоническое правило

Формул приведения много, и, к счастью, нет необходимости заучивать их наизусть. Существуют закономерности, по которым можно выводить формулы приведения для разных углов и тригонометрических функций. Эти закономерности называются мнемоническим правилом. Мнемоника — искусство запоминания. Мнемоническое правило состоит из трех частей, или содержит три этапа.

1. Аргумент исходной функции представляется в одном из видов

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Угол α должен лежать в пределах от 0 до 90 градусов.

2. Определяется знак исходной тригонометрической функции. Такой же знак будет иметь функция, записываемая в правой части формулы.

3. Для углов ± α + 2 πz и π ± α + 2 πz название исходной функции остается неизменным, а для углов π 2 ± α + 2 πz и 3 π 2 ± α + 2 πz соответственно меняется на «кофункцию». Синус — на косинус. Тангенс — на котангенс.

Чтобы пользоваться мнемоническим праилом для формул приведения нужно уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности. Разберем примеры применения мнемонического правила.

Пример 1. Использование мнемонического правила

Запишем формулы приведения для cos π 2 — α + 2 πz и t g π — α + 2 πz . α — улог первой четверти.

1. Так как по условию α — улог первой четверти, мы пропускаем первый пункт правила.

2. Определим знаки функций cos π 2 — α + 2 πz и t g π — α + 2 πz . Угол π 2 — α + 2 πz также является углом первой четверти, а угол π — α + 2 πz находится во второй четверти. В первой четверти функция косинуса положительна, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. Запишем, как будут выглядеть искомые формулы на этом этапе.

cos π 2 — α + 2 πz = + t g π — α + 2 πz = —

3. Согласно третьему пункту для угла π 2 — α + 2 π название функции изменяется на конфуцию, а для угла π — α + 2 πz остается прежним. Запишем:

cos π 2 — α + 2 πz = + sin α t g π — α + 2 πz = — t g α

А теперь заглянем в формулы, приведенные выше, и убедимся в том, что мнемоническое правило работает.

Рассмотрим пример с конкретным углом α = 777 ° . Приведем синус альфа к тригонометрической функции острого угла.

Пример 2. Использование мнемонического правила

1. Представим углол α = 777 ° в необходимом виде

777 ° = 57 ° + 360 ° · 2 777 ° = 90 ° — 33 ° + 360 ° · 2

2. Исходный угол — угол первой четверти. Значит, синус угла имеет положительный знак. В итоге имеем:

3. sin 777 ° = sin ( 57 ° + 360 ° · 2 ) = sin 57 ° sin 777 ° = sin ( 90 ° — 33 ° + 360 ° · 2 ) = cos 33 °

Теперь рассмотрим пример, который показывает, как важно правильно определить знак тригонометрической функции и правильно представить угол при использовании мнемонического правила. Повторим еще раз.

Угол α должен быть острым!

Вычислим тангенс угла 5 π 3 . Из таблицы значений основных тригонометрических функций можно сразу взять значение t g 5 π 3 = — 3 , но мы применим мнемоническое правило.

Пример 3. Использование мнемонического правила

Представим угол α = 5 π 3 в необходимом виде и воспользуемся правилом

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = — c t g π 6 = — 3 t g 5 π 3 = t g 2 π — π 3 = — t g π 3 = — 3

Если же представить угол альфа в виде 5 π 3 = π + 2 π 3 , то результат применениея мнемонического правила будет неверным.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = — t g 2 π 3 = — ( — 3 ) = 3

Неверный результат обусловлен тем, что угол 2 π 3 не явдяется острым.

Формулы приведения. Доказательство

Доказательство формул приведения основывается на свойствах периодичности и симметричности тригонометрических функций, а также на свойстве сдвига на углы π 2 и 3 π 2 . Доказательство справедливости всех формул приведения иожно проводить без учета слагаемого 2 πz , так как оно обозначает изменение угла на целое число полных оборотов и как раз отражает свойство периодичности.

Первые 16 формул следуют напрямую из свойств основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котанганса.

Приведем доказательство формул приведения для синусов и косинусов

sin π 2 + α = cos α и cos π 2 + α = — sin α

Посмотрим на единичную окружность, начальная точка которой после повоторота на угол α перешла в точку A 1 x , y , а после поворота на угол π 2 + α — в точку A 2 . Из обеих точек проведем перпендикуляры к оси абсцисс.

Два прямоугольных треугольника O A 1 H 1 и O A 2 H 2 равны по гипотенузе и прилежащим к ней углам. Из расположения точек на окружности и равенства треугольников можно сделать вывод о том, что точка A 2 имеет координаты A 2 — y , x . Используя определения синуса и косинуса, запишем:

sin α = y , cos α = x , sin π 2 + α = x , cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α , cos π 2 + α = — sin α

С учетом основных тождеств тригонометрии и только что доказанного, можно записать

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α — sin α = — c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = — sin α cos α = — t g α

Для доказательства формул приведения с аргументом π 2 — α его необходимо представить в виде π 2 + ( — α ) . Например:

cos π 2 — α = cos π 2 + ( — α ) = — sin ( — α ) = sin α

В доказательстве используются свойства тригонометрических функций с аргументами, противоположными по знаку.

Все остальные формулы приведения можно доказать на базе записанных выше.

www.zaochnik.com

Научный форум dxdy

Запоминалки (мнемонические правила) для чисел и не только

Лично я со школы ещё запомнил эти формулу на слух: «синус на косинус, косинус на синус» и «косинус на косинус, синус на синус» (начало фразы совпадает с началом левой части формулы; косинус меняет знак). Вообще, на слух многие вещи легко запоминаются, типа «эм же аш», «ро же аш», «три кота на мясо» и т. д.

Тоже в школе придумал такой способ запоминать формулы преобразования сумм в произведения: берём соотв. формулу сложения (для аругмента с плюсом), первое слагаемое соответствует сумме, а второе разности. Лучше на примере, . Берём соотв. формулу сложения и берём первое слагаемое (т. к. ), получаем

Ещё пример: : формула сложения , берём второе слагаемое (т. к. минус):

Для преобразования произведений в сумм мнемоники не нужно, формулы легко выражаются (в уме) из формул сложения.

———
Мнемоника для формулы суммы геом. прогресии (она приводится в Конкретной Математике): сумма г.п. равна разности первого входящего члена (в г.п.) и первого не входящего, делённой на разность 1 и знаменателя г. п. Напр. .
Сумма арифметической прогрессии: среднее арифметическое первого и последнего членов, умноженное на кол-о членов.

———
Многие формулы с логарифмами можно вспомнить, если заменить . Напр. ,

———
Универс. газовая постоянная ()

———-
А б сорбция — в о б ъёме, а значит адсорбция — на поверхности.

————
Еще помню до сих пор два стишка, котоыре вуычил в школе, когда готовился к олимпиаде по химии и биологии:

Запомним, друг, и я, и ты,
Чем отличаются спирты —
В них углерод и гидроксид,
И каждый спирт легко горит.

R — это значит радикал,
Он может быть велик и мал,
Предельный или непредельный.
Но это разговор отдельный.

Приятно пахнут альдегиды,
Но группа C(H)O их выдаст.

Среди карбоновых кислот
Известных лиц невпроворот.
В кислотах — группы карбоксильные,
Но все кислоты здесь — несильные.

В кетонах группа есть CO,
Но это тоже ничего.
Горит прекрасно ацетон,
И растворитель — тоже он.

Мы говорим спокойно: жир.
А между прочим, он — эфир,
Он из кислот и глицерина.
Такая вот у нас картина.

———-
Ещё из химии: «чай с лимоном» — можно лить кислоту (лимон) в воду (чай), но не наоборот!
Ну и «ДЕКА» — жирорастворимые витамины (A, D, E, K). Кстати говоря, поэтому всегда ем каши с маслом и салаты с подсолнечным маслом, иначе витамины (напр. A из моркови) могут не усвоиться.

dxdy.ru

Популярное:

  • Закон вступление в права наследства Основное содержание закона о наследстве Закон о наследстве регулирует особую процедуру, которая обусловливает переход прав и обязанностей, а также имущества умершего гражданина его родственникам или иным лицам, в том числе […]
  • Жалоба на методиста Если не устраивает заведующая детским садом … Вопрос: Добрый день! Г. Калининград. Скажите, пожалуйста, если родителей полностью не устраивает заведующая детским садом, могут ли они требовать от начальника управления образования […]
  • Бланк заявления иностранного гражданина по месту жительства Как составляется заявление иностранного гражданина или лица без гражданства о регистрации по месту жительства Житель другого государства, прибывший в РФ, должен подать в миграционную службу заявление иностранного гражданина или […]
  • Помощь юриста по автокредиту Суд по автокредиту – советы адвоката Если вы берете целевой кредит на покупку автомобиля, то купленная вами машина будет оформлена как залог. Грубо говоря, в случае невыплаты автокредита банк имеет право забрать у вас автомобиль […]
  • Счетчики на газ закон Президент РФ отменил обязательную установку счетчиков на газ Президент Владимир Путин подписал закон, который вносит поправку в закон № 261-ФЗ "Об энергосбережении. " и отменяет обязательную установку газовых счетчиков в […]
  • Когда пенсии за январь 2013 ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ Подписка на новости Письмо для подтверждения подписки отправлено на указанный вами e-mail. 27 декабря 2013 График выплаты пенсий, ЕДВ и иных социальных выплат за январь 2014 года […]
  • Получить пенсионные накопления по наследству Как унаследовать средства пенсионных накоплений наследодателя? Наследодатель при жизни вправе в любое время подать заявление в территориальный орган ПФР и определить конкретных лиц (правопреемников) и доли средств, которые […]
  • Основные признаки права собственности Понятие и основные признаки права собственности на природные объекты и ресурсы. ГК, Статья 209. Содержание права собственности. Право владения означает закрепленную законом возможность фактичес­кого обладания природным объектом, […]