Правила двоичного умножения

Как складывает два двоичных числа компьютер мы разобрались, но, на всякий случай, повторим, пощелкав выключателями на приведенной с правой стороны интерактивной модели полусумматора, немного нами усовершенствованного, по отношению к предыдущей демонстрации (анимации).
А именно:
переключатели теперь стали именованными;
под переключателями разместили индикаторы логического состояния;
выделили кнопку, позволяющую нажимать одновременно оба выключателя

Вот теперь настало самое время разобраться с помощью анимированной модели полувычитателя с тем, как компьютер вычитает. Пржде всего, давайте вспомним правила вичитания двоичных чисел.

Правило 1) 0 — 0 = 0
Правило 2) 1 — 0 = 1
Правило 3) 0 — 1 = 1 и занимаем единицу
Правило 4) 1 — 1 = 0

Очевидно то, что за исключением цифры заема, эти правила ни чем не отличаются от правил двоичного сложения. Следовательно, с незначительными изменениями схема полусумматора может быть использована и для вычитания, только анимированный левый ключ должен быть замкнут, когда ключи вычитаемого находятся в верхнем положении. В то же время в схеме сложения он был разомкнут, когда ключи первого слагаемого находились в верхнем положении.

Компьютер, перевод из схемы «полусумматора» в «полувычитатель», производит по специальной команде, которая, как уже говорилось, поступает из блока памяти вместе с цифровой информацией.

Имея арифметическое устройство такое как на верхней анимации, очень легко его приспособить для умножения. Вспомните, как производится умножение в двоичной системе счисления. Там все сводится к суммированию множимого столько раз, сколько единиц встречается во множителе. Только при этом сдвигать множимое влево, как и при умножении десятичных чисел. Значит, опять можно ипользовать все то же арифметическое устройство! Команды сдвига формируются отдельно.

Деление, как вам известно, в двоичной системе сводится к сдвигу делителя и к сложению чисел в дополнительном коде. Проще всего для этого приспособить схему на «полувычитателях».

Что бы арифметическое устройство ни делало: складывало, вычитало, умножало или делило, все равно полученный результат из него снова попадает в блок памяти, освобождая место для новых операций. Если это был окончательный результат, то он в блоке памяти долго не залеживается, а тут же выдается на выходное устройство для потребителя. Если же результат является промежуточным и ешение задачи еще не закончено, то он хранится в блоке памяти и ждет своей очереди, пока снова не попадет в арифметическое устройство.

Познакомившись с тем, как считает ЭВМ, давайте сравним ее с человеком по скорости арифметических операций.

Кто из них быстрее считает, человек или машина?

Многие из ребят, наверное, удивятся такой постановке вопроса.

Они даже готовы спорить, что именно в скорости счета человек уступает машине. Об этом очень много писалось в книгах и журналах. Но это не совсем так. . .

Несколько лет назад во Франции по телевидению передавалось из города Лилля сенсационное выступление Мориса Дагбера, за которым с напряжен­ ным вниманием следили миллионы зрителей. М. Дагбер официально устроил поединок с самой современной электронной вычислительной машиной, вы­звав ее на соревнование по скорости вычислений. Человек соглашался при­знать себя побежденным, если машина решит семь задач из десяти, предло­женных жюри, раньше, чем он, Дагбер, решит все десять задач.

Жюри предложило три задачи на извлечение кубических корней из чисел 48 627 125, 1092 727 и 246 491883, пять задач по возведению в степень — 89 3 , 57 4 , 38 5 , 71 8 , 99 7 . Девятая задача была относительно легкой — разде­лить 1515 на 45. А в последней, десятой задаче предлагалось выразить воз­раст одного из членов жюри (ему в этот день исполнился 51 год) в днях, часах и секундах.

Феноменальный француз, как назвал его комментатор телевидения, ре­ шил все десять задач за 3 минуты 43 секунды, дав следующие точные ответы: по первой группе (извлечение корней) —365, 103 и 627; по второй (возве­дение в степень) — 704 969, 10 556001, 79235168, 128100283921 и 93 206 534 790 699, а также ответы на девятый вопрос — 33, 666(6) и на последний—18 627 дней, 447 048 часов, или 1609 372 800 секунд.

На решение всех десяти задач Дагберу понадобилось на 1 минуту 35 секунд меньше времени, чем машине на решение семи задач! ЭВМ затратила времени 5 минут 18 секунд.

Результаты, показанные Дагбером,еще раз подчеркнули непревзойден­ ность человеческого мозга, который остается самой замечательной из всех известных вычислительных машин.

Мозг человека намного сложнее современной вычислительной машины. Большая ЭВМ состоит из нескольких тысяч электронных ламп или транзи­сторов и в десять или двадцать раз большего числа других радиодеталей. В ней примерно от 50 до 100 тысяч элементов.

Количество нервных клеток в мозге человека приблизительно равно 10 000 000 000, что соответствует числу элементов в ста тысячах больших вычислительных машин.

Иными Словами, мозг одного человека содержит больше элементов, чем все вычислительные машины мира, вместе взятые!

Человеческий мозг — величайшая загадка природы. Именно ее решение поможет инженерам создать ЭВМ будущего. Кто знает, может быть, кому-нибудь из читателей этой книги посчастливится приоткрыть, хотя бы немно­ го, тайну человеческого мозга — логику и устройство человеческой вычисли­ тельной машины.

А пока о человеческом мозге известно очень мало. В мозге информация передается по нервным волокнам и сигналы состоят из импульсов возбужде­ ния—«все или ничего».

Та же двоичная система цифр, что и у машины!

somit.ru

Арифметические операции в двоичной системе

Арифметические действия в двоичной системе производится по тем же правилам что и в десятичной системе счисления. Однако так как в двоичной системе счисления используются только две цифры 0 и 1, то арифметические действия выполняются проще, чем десятичной системе.

Сложение двоичных чисел.

Сложение выполняется поразрядно столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы двоичного сложения:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10.

При сложении необходимо помнить, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в старший.

Пример 3.5. Сложить два числа:

Вычитание двоичных чисел.

Вычитание выполняется поразрядно столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы двоичного вычитания:
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
10 – 1 = 1.
Пример 3.6. Найти разность двух чисел:

Т.е. при вычитании двоичных чисел в случае необходимости занимается 1 из старшего разряда, которая равна двум единицам младшего разряда.

Умножение двоичных чисел.

Умножение в двоичной системе производится по тому же принципу что и в десятичной системе счисления, при этом используется таблица двоичного умножения:
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1 .
Пример 3.7. Найти произведение двух чисел:

Как видно из приведенных примеров, операция умножения может быть представлена как операции сдвига и суммирования.

Деление двоичных чисел.

Деление в двоичной системе производится вычитанием делителя со сдвигом вправо, если остаток больше нуля.
Пример 3.8. Найти частное двух чисел если:
1. Делимое больше делителя:

2. Делимое меньше делителя:

Как видно из приведенных примеров, операция деления может быть представлена как операции сравнения, сдвига и суммирования.

life-prog.ru

Урок информатики по теме: «Система счисления. Сложение и умножение в двоичной системе счисления»

Цели:

• повторить навыки перехода из одной системы счисления в другую; изучить правила сложения и умножения в двоичной системе счисления;
• развивать вычислительные навыки;
• расширять кругозор учащихся;
• воспитывать ответственное отношение к учебному труду, внимательность, аккуратность, самостоятельность.

Тип урока: комбинированный

Оборудование: компьютер, таблицы для фокуса, таблицы с типами систем счисления, рисунки к докладу.

План урока.

1. Организационный момент
2. Повторение
3. Изучение новой темы
4. Закрепление
5. Подведение итогов
6. Постановка домашнего задания

I. Организационный момент

1. Проверить готовность класса к уроку.
2. Сообщить тему, цели и ход урока.

II. Повторение.

1) Ответить на вопросы:

• Что такое системы счисления?
• Какие системы счисления мы изучили.
• Как переходить из одной системы счисления в другую?

2) Фокусы (на повторение способа перехода из 2-ой системы в 10-ю систему счисления):

Фокус 1. (у доски два ученика: один загадывает число, другой отгадывает) Загадать число от 1 до 1000. Задавая 10 вопросов отгадать это число.

• Вопрос 1: Раздели задуманное число на 2. Сообщи получившийся остаток.
• Вопрос 2: Раздели неполное частное на 2. Сообщи получившийся остаток.
• Вопрос 3 – 10: Раздели неполное частное на 2. Сообщи получившийся остаток. Получиться 10 цифр, каждая из которых 0 или 1. Поучили 2-ую запись задуманного числа. Теперь остается только его перевести в 10-ую систему.

Фокус 2. На семи карточках записаны числа от 1 до 127 в таблицы 8 х 8 . Один ученик загадывает какое-либо число, и сообщает в каких таблицах это число находиться находится. Начинаем с таблицы 7. Если оно есть в таблице, то ставиться 1, если нет – то ставиться 0. Таким образом, получается двоичное число, которое нужно перевести в 10 систему.

У доски работают три ученика по карточкам:

• Карточка № 1: Перевести число 167 в 2-ую, 8-ую, 16-ую систему счисления.
• Карточка № 2: Перевести числа из одной системы в 10-ую: 11100110₂, 1064₈, А5С₁₆.
• Карточка № 3:
  • Перевести из 8-ой системы в 2-ую: 504
  • Перевести из 16-ой в 2-ую: D55C
  • Перевести из 2-ой в 8-ую: 1101011110000
  • Перевести из 2-ой в 16-ую: 11100011101

III. Объяснение новой темы:

Историческая справка (доклад по теме “Возникновение различных систем счисления”)

По ходу доклада демонстрируются рисунки, связанные с возникновением 5-ой, 10-ой, 12-ой, алфавитной систем счисления и схема классификации систем счисления .

Тема объясняется с помощью презентации Power Point.

1. Сложение. В основе сложения чисел в двоичной системе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел.

№ 1.

2. Умножение. В основе умножения чисел в двоичной системе лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел.

№ 2.

IV. Закрепление

№ 3.

101 + 11 [1000]
10110 + 101 [11011]
10101 + 1011 [100000]

№ 4

101 . 11 [1111]
1001 . 11 [11011]
101,01 . 101,1 [11100,111]

V. Подведение итогов:

1. Повторить типы систем счисления;
2. Правила сложения и умножения в двоичной системе счисления

VI. Постановка домашнего задания: дома повторить правила перехода из одной системы счисления в другую, правила сложения и умножения двоичных чисел; подготовиться к самостоятельной работе; выполнить № 1 (индивидуальные карточки)

Карточка для домашнего задания

10101 + 1101 =
110111 + 1011 =
10001 . 101 =
1010,1 . 11,1 =

10111 + 1011 =
110101 + 1110 =
100,01 . 11,1 =
10101 . 101,1 =

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Умножение чисел

Алгоритмы умножения двоичных чисел

Рассмотрим алгоритмические особенности реализации операции умножения положительных и-разрядных двоичных чисел А = а <ап _ 2. ak. aia0 и В = Ьп _ <Ьп _ 2. bk. bxbQ, где А – множимое, В – множитель. Отдельные разряды ак и Ьк двоичных чисел перемножаются по правилам, приведенным в табл. 2.10.

Арифметическое умножение Pk = “k* Ьк

Логическое умножение Рк

Сложение по модулю 2 Рк =

Воспользовавшись методом Горнера, преобразуем выражение (2.18) к виду (2.19):

(2.19)

Согласно (2.19) умножение начинается со старшего разряда bn [ = ЬТ После этого умножением на 21 реализуется сдвиг влево (тг-1 )-го частичного произведения, а затем каждая последующая сумма частичных произведений (за исключением последней) также сдвигается влево на один разряд.

Пример 2.24. Умножение 3-разрядных двоичных чисел А = 111 и В= 101 (рис. 2.13) по алгоритму, описываемому формулой (2.19), имеющей для п = 3 следующий вид:

Рис. 2.13. Умножение по алгоритму (2.19) с левым сдвигом промежуточных результатов

Возможна другая форма представления произведения (2.18) по схеме Горнера

(2.20)

Из (2.20) следует, что умножение начинается с младшего разряда Ь0 множителя В. После этого умножением на 2 1 осуществляется сдвиг частичного произведения Ь0 ■ А вправо на один заряд, а затем каждая последующая сумма частичных произведений (за исключением последней) сдвигается также вправо на один разряд.

Пример 2.25. Умножение 3-разрядных двоичных чисел А = 111 и В = 101 но алгоритму, описываемому формулой (2.20), имеющей для п = 3 следующий вид:

где (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Умножение по алгоритму (2.20) с правым сдвигом промежуточных результатов

При умножении целых положительных «-разрядных двоичных чисел количество разрядов произведения не превышает 2я. В том случае, когда множимое А и множитель В могут иметь разные знаки, возникает необходимость определения знака произведения. Для этого над знаковыми разрядами сомножителей выполняется логическая операция сложения по модулю два или неравнозначности (см. табл. 2.10):

(2.21)

где р2п, ап, Ъп – значения знаковых разрядов произведения Р и сомножителей Ли В;® – обозначение логической операции неравнозначности.

Если множимое А и множитель В имеют разные знаки, то результат операции неравнозначности равен единице, а если – одинаковые знаки, то результат равен нулю. Поэтому, если А и В имеют:

• разные знаки, то p2n = ап ® bn = 1 Ф 0 = 0 © 1 = 1, что соответствует отрицательному знаку произведения Р;

• одинаковые знаки, то p2n = an ® bn = 1 ® 1 = 0 © 0 = 0, что соответствует положительному знаку произведения Р.

При известном знаке произведения определяется его абсолютное значение перемножением модулей сомножителей (без учета их знаков).

studme.org

Арифметические действия в позиционных системах счисления

Рассмотрим два основных арифметических действия: сложение и умножение в различных системах счисления.

Пятеричная система счисления

Найдем 234₅ + 312₅. Складывать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Используя таблицу сложения можно также и вычитать числа в пятеричной системе счисления:

Найдем 203₅ – 34₅. Вычитать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Сложение и вычитание можно выполнять и не используя таблицу сложения.

• при сложении чисел в пятеричной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 5!
• при вычитании — в старшем разряде мы занимаем не 10, а 5 единиц.

Если выполнение операций сложения и вычитания поручить формальному исполнителю, например компьютеру, тогда необходимо хранить в его памяти таблицу сложения, т.е. 5*5=25 ячеек памяти будет занято под таблицу.

Найдем 13₅ * 24₅. Умножать будем в «столбик», используя таблицу умножения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Столько правил необходимо было бы «запомнить» компьютеру, если бы он работал в пятеричной системе счисления. Сравните с «нашей» десятичной системой счисления: 10*10 = 100 правил сложения и 9*9 = 81 правило умножения!

Двоичная система счисления

Составим таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления.

Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера храниться в двоичном коде (в виде 0 и 1).

Рассмотрим примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления.

• при сложении чисел в двочной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 2!
• при вычитании — в старшем разряде мы занимаем не 10, а 2 единицы.

Троичная система счисления

Заполните самостоятельно таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления.

school6.tgl.ru

Популярное:

• Химия пособие по егэ Химия, Новые задания ЕГЭ, Доронькин В.Н., 2016 Химия, Новые задания ЕГЭ, Доронькин В.Н., 2016. Пособие составлено в соответствии с изменениями формулировок и содержания заданий в тестах ЕГЭ по новой спецификации и предназначено […]
• Налог на наследование и дарение это Налог на наследование и дарение это Местные налоги и сборы (1) земельный налог (2) налог на имущество физических лиц (3) налог на рекламу (4) налог на наследование или дарение (5) местные лицензионные сборы. [c.113] В Налоговом […]
• Какое разрешение на 4 Вопрос про соотношение сторон и разрешение экрана. reflasher #1 Отправлено 18 Мар 2015 - 13:37 V_hobbit #2 Отправлено 18 Мар 2015 - 13:41 Делай настройки как раньше и будет тебе счастье. karls0n8 #3 Отправлено 18 Мар 2015 - […]
• Калькулятор осаго 2018г Реальна ли отмена полисов страховки ОСАГО в 2017-2018 годах? Безаварийный страховой стаж (полных лет): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10+ Если у вас было ДТП Конечный результат может отличаться в зависимости от наличия ДТП во всей страховой […]
• Орган опеки центрального района санкт-петербурга Орган опеки центрального района санкт-петербурга Органы опеки и попечительства Центрального района Органы опеки и попечительства Центрального района Санкт-Петербурга МО Дворцовый округ Адрес: г. Санкт-Петербург, Большая […]
• Стаж работника при расчете больничного Расчет стажа для больничного и не только Рассмотрим, каким образом и на основании каких документов производится расчет общего стажа работника, непрерывный стаж, стаж для оплаты больничных листов, в том числе с учетом […]
• Ст 122 ук комментарий Уголовный кодекс РФ c комментариями Комментарий к статье 122 1. Первые две части комментируемой статьи с некоторыми терминологическими изменениями повторяют ст. 115(2) УК РСФСР 1960 г. Части 3 и 4 ст. 122 УК являются новыми, […]
• Правила саймона на jailbreak Правила саймона на jailbreak 1. Использовать любые Скрипты/читы и прочее. [Бан на 1 Неделю/Навсегда] 2. Использовать баги игры,карт. [Бан на 30 мин/1 день] 3. Использовать программы, меняющие голос/воспроизводящие посторонние […]