Правила двоичного умножения
Как складывает два двоичных числа компьютер мы разобрались, но, на всякий случай, повторим, пощелкав выключателями на приведенной с правой стороны интерактивной модели полусумматора, немного нами усовершенствованного, по отношению к предыдущей демонстрации (анимации).
А именно:
переключатели теперь стали именованными;
под переключателями разместили индикаторы логического состояния;
выделили кнопку, позволяющую нажимать одновременно оба выключателя
Вот теперь настало самое время разобраться с помощью анимированной модели полувычитателя с тем, как компьютер вычитает. Пржде всего, давайте вспомним правила вичитания двоичных чисел.
Правило 1) 0 — 0 = 0
Правило 2) 1 — 0 = 1
Правило 3) 0 — 1 = 1 и занимаем единицу
Правило 4) 1 — 1 = 0
Очевидно то, что за исключением цифры заема, эти правила ни чем не отличаются от правил двоичного сложения. Следовательно, с незначительными изменениями схема полусумматора может быть использована и для вычитания, только анимированный левый ключ должен быть замкнут, когда ключи вычитаемого находятся в верхнем положении. В то же время в схеме сложения он был разомкнут, когда ключи первого слагаемого находились в верхнем положении.
Компьютер, перевод из схемы «полусумматора» в «полувычитатель», производит по специальной команде, которая, как уже говорилось, поступает из блока памяти вместе с цифровой информацией.
Имея арифметическое устройство такое как на верхней анимации, очень легко его приспособить для умножения. Вспомните, как производится умножение в двоичной системе счисления. Там все сводится к суммированию множимого столько раз, сколько единиц встречается во множителе. Только при этом сдвигать множимое влево, как и при умножении десятичных чисел. Значит, опять можно ипользовать все то же арифметическое устройство! Команды сдвига формируются отдельно.
Деление, как вам известно, в двоичной системе сводится к сдвигу делителя и к сложению чисел в дополнительном коде. Проще всего для этого приспособить схему на «полувычитателях».
Что бы арифметическое устройство ни делало: складывало, вычитало, умножало или делило, все равно полученный результат из него снова попадает в блок памяти, освобождая место для новых операций. Если это был окончательный результат, то он в блоке памяти долго не залеживается, а тут же выдается на выходное устройство для потребителя. Если же результат является промежуточным и ешение задачи еще не закончено, то он хранится в блоке памяти и ждет своей очереди, пока снова не попадет в арифметическое устройство.
Познакомившись с тем, как считает ЭВМ, давайте сравним ее с человеком по скорости арифметических операций.
Кто из них быстрее считает, человек или машина?
Многие из ребят, наверное, удивятся такой постановке вопроса.
Они даже готовы спорить, что именно в скорости счета человек уступает машине. Об этом очень много писалось в книгах и журналах. Но это не совсем так. . .
Несколько лет назад во Франции по телевидению передавалось из города Лилля сенсационное выступление Мориса Дагбера, за которым с напряжен ным вниманием следили миллионы зрителей. М. Дагбер официально устроил поединок с самой современной электронной вычислительной машиной, вызвав ее на соревнование по скорости вычислений. Человек соглашался признать себя побежденным, если машина решит семь задач из десяти, предложенных жюри, раньше, чем он, Дагбер, решит все десять задач.
Жюри предложило три задачи на извлечение кубических корней из чисел 48 627 125, 1092 727 и 246 491883, пять задач по возведению в степень — 89 3 , 57 4 , 38 5 , 71 8 , 99 7 . Девятая задача была относительно легкой — разделить 1515 на 45. А в последней, десятой задаче предлагалось выразить возраст одного из членов жюри (ему в этот день исполнился 51 год) в днях, часах и секундах.
Феноменальный француз, как назвал его комментатор телевидения, ре шил все десять задач за 3 минуты 43 секунды, дав следующие точные ответы: по первой группе (извлечение корней) —365, 103 и 627; по второй (возведение в степень) — 704 969, 10 556001, 79235168, 128100283921 и 93 206 534 790 699, а также ответы на девятый вопрос — 33, 666(6) и на последний—18 627 дней, 447 048 часов, или 1609 372 800 секунд.
На решение всех десяти задач Дагберу понадобилось на 1 минуту 35 секунд меньше времени, чем машине на решение семи задач! ЭВМ затратила времени 5 минут 18 секунд.
Результаты, показанные Дагбером,еще раз подчеркнули непревзойден ность человеческого мозга, который остается самой замечательной из всех известных вычислительных машин.
Мозг человека намного сложнее современной вычислительной машины. Большая ЭВМ состоит из нескольких тысяч электронных ламп или транзисторов и в десять или двадцать раз большего числа других радиодеталей. В ней примерно от 50 до 100 тысяч элементов.
Количество нервных клеток в мозге человека приблизительно равно 10 000 000 000, что соответствует числу элементов в ста тысячах больших вычислительных машин.
Иными Словами, мозг одного человека содержит больше элементов, чем все вычислительные машины мира, вместе взятые!
Человеческий мозг — величайшая загадка природы. Именно ее решение поможет инженерам создать ЭВМ будущего. Кто знает, может быть, кому-нибудь из читателей этой книги посчастливится приоткрыть, хотя бы немно го, тайну человеческого мозга — логику и устройство человеческой вычисли тельной машины.
А пока о человеческом мозге известно очень мало. В мозге информация передается по нервным волокнам и сигналы состоят из импульсов возбужде ния—«все или ничего».
Та же двоичная система цифр, что и у машины!
somit.ru
Арифметические операции в двоичной системе
Арифметические действия в двоичной системе производится по тем же правилам что и в десятичной системе счисления. Однако так как в двоичной системе счисления используются только две цифры 0 и 1, то арифметические действия выполняются проще, чем десятичной системе.
Сложение двоичных чисел.
Сложение выполняется поразрядно столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы двоичного сложения:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10.
При сложении необходимо помнить, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в старший.
Пример 3.5. Сложить два числа:
Вычитание двоичных чисел.
Вычитание выполняется поразрядно столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы двоичного вычитания:
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
10 – 1 = 1.
Пример 3.6. Найти разность двух чисел:
Т.е. при вычитании двоичных чисел в случае необходимости занимается 1 из старшего разряда, которая равна двум единицам младшего разряда.
Умножение двоичных чисел.
Умножение в двоичной системе производится по тому же принципу что и в десятичной системе счисления, при этом используется таблица двоичного умножения:
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1 .
Пример 3.7. Найти произведение двух чисел:
Как видно из приведенных примеров, операция умножения может быть представлена как операции сдвига и суммирования.
Деление двоичных чисел.
Деление в двоичной системе производится вычитанием делителя со сдвигом вправо, если остаток больше нуля.
Пример 3.8. Найти частное двух чисел если:
1. Делимое больше делителя:
2. Делимое меньше делителя:
Как видно из приведенных примеров, операция деления может быть представлена как операции сравнения, сдвига и суммирования.
life-prog.ru
Урок информатики по теме: «Система счисления. Сложение и умножение в двоичной системе счисления»
Цели:
- повторить навыки перехода из одной системы счисления в другую; изучить правила сложения и умножения в двоичной системе счисления;
- развивать вычислительные навыки;
- расширять кругозор учащихся;
- воспитывать ответственное отношение к учебному труду, внимательность, аккуратность, самостоятельность.
Тип урока: комбинированный
Оборудование: компьютер, таблицы для фокуса, таблицы с типами систем счисления, рисунки к докладу.
План урока.
- Организационный момент
- Повторение
- Изучение новой темы
- Закрепление
- Подведение итогов
- Постановка домашнего задания
I. Организационный момент
- Проверить готовность класса к уроку.
- Сообщить тему, цели и ход урока.
II. Повторение.
1) Ответить на вопросы:
- Что такое системы счисления?
- Какие системы счисления мы изучили.
- Как переходить из одной системы счисления в другую?
2) Фокусы (на повторение способа перехода из 2-ой системы в 10-ю систему счисления):
Фокус 1. (у доски два ученика: один загадывает число, другой отгадывает) Загадать число от 1 до 1000. Задавая 10 вопросов отгадать это число.
- Вопрос 1: Раздели задуманное число на 2. Сообщи получившийся остаток.
- Вопрос 2: Раздели неполное частное на 2. Сообщи получившийся остаток.
- Вопрос 3 – 10: Раздели неполное частное на 2. Сообщи получившийся остаток. Получиться 10 цифр, каждая из которых 0 или 1. Поучили 2-ую запись задуманного числа. Теперь остается только его перевести в 10-ую систему.
Фокус 2. На семи карточках записаны числа от 1 до 127 в таблицы 8 х 8 . Один ученик загадывает какое-либо число, и сообщает в каких таблицах это число находиться находится. Начинаем с таблицы 7. Если оно есть в таблице, то ставиться 1, если нет – то ставиться 0. Таким образом, получается двоичное число, которое нужно перевести в 10 систему.
У доски работают три ученика по карточкам:
- Карточка № 1: Перевести число 167 в 2-ую, 8-ую, 16-ую систему счисления.
- Карточка № 2: Перевести числа из одной системы в 10-ую: 111001102, 10648, А5С16.
- Карточка № 3:
- Перевести из 8-ой системы в 2-ую: 504
- Перевести из 16-ой в 2-ую: D55C
- Перевести из 2-ой в 8-ую: 1101011110000
- Перевести из 2-ой в 16-ую: 11100011101
III. Объяснение новой темы:
Историческая справка (доклад по теме “Возникновение различных систем счисления”)
По ходу доклада демонстрируются рисунки, связанные с возникновением 5-ой, 10-ой, 12-ой, алфавитной систем счисления и схема классификации систем счисления .
Тема объясняется с помощью презентации Power Point.
1. Сложение. В основе сложения чисел в двоичной системе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел.
№ 1.
2. Умножение. В основе умножения чисел в двоичной системе лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел.
№ 2.
IV. Закрепление
№ 3.
101 + 11 [1000]
10110 + 101 [11011]
10101 + 1011 [100000]
№ 4
101 . 11 [1111]
1001 . 11 [11011]
101,01 . 101,1 [11100,111]
V. Подведение итогов:
- Повторить типы систем счисления;
- Правила сложения и умножения в двоичной системе счисления
VI. Постановка домашнего задания: дома повторить правила перехода из одной системы счисления в другую, правила сложения и умножения двоичных чисел; подготовиться к самостоятельной работе; выполнить № 1 (индивидуальные карточки)
Карточка для домашнего задания
10101 + 1101 =
110111 + 1011 =
10001 . 101 =
1010,1 . 11,1 =
10111 + 1011 =
110101 + 1110 =
100,01 . 11,1 =
10101 . 101,1 =
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Умножение чисел
Алгоритмы умножения двоичных чисел
Рассмотрим алгоритмические особенности реализации операции умножения положительных и-разрядных двоичных чисел А = а <ап _ 2. ak. aia0 и В = Ьп _ <Ьп _ 2. bk. bxbQ, где А – множимое, В – множитель. Отдельные разряды ак и Ьк двоичных чисел перемножаются по правилам, приведенным в табл. 2.10.
Арифметическое умножение Pk = “k* Ьк
Логическое умножение Рк
Сложение по модулю 2 Рк =
Воспользовавшись методом Горнера, преобразуем выражение (2.18) к виду (2.19):
(2.19)
Согласно (2.19) умножение начинается со старшего разряда bn [ = ЬТ После этого умножением на 21 реализуется сдвиг влево (тг-1 )-го частичного произведения, а затем каждая последующая сумма частичных произведений (за исключением последней) также сдвигается влево на один разряд.
Пример 2.24. Умножение 3-разрядных двоичных чисел А = 111 и В= 101 (рис. 2.13) по алгоритму, описываемому формулой (2.19), имеющей для п = 3 следующий вид:
Рис. 2.13. Умножение по алгоритму (2.19) с левым сдвигом промежуточных результатов
Возможна другая форма представления произведения (2.18) по схеме Горнера
(2.20)
Из (2.20) следует, что умножение начинается с младшего разряда Ь0 множителя В. После этого умножением на 2 1 осуществляется сдвиг частичного произведения Ь0 ■ А вправо на один заряд, а затем каждая последующая сумма частичных произведений (за исключением последней) сдвигается также вправо на один разряд.
Пример 2.25. Умножение 3-разрядных двоичных чисел А = 111 и В = 101 но алгоритму, описываемому формулой (2.20), имеющей для п = 3 следующий вид:
где (рис. 2.14).
Рис. 2.14. Умножение по алгоритму (2.20) с правым сдвигом промежуточных результатов
При умножении целых положительных «-разрядных двоичных чисел количество разрядов произведения не превышает 2я. В том случае, когда множимое А и множитель В могут иметь разные знаки, возникает необходимость определения знака произведения. Для этого над знаковыми разрядами сомножителей выполняется логическая операция сложения по модулю два или неравнозначности (см. табл. 2.10):
(2.21)
где р2п, ап, Ъп – значения знаковых разрядов произведения Р и сомножителей Ли В;® – обозначение логической операции неравнозначности.
Если множимое А и множитель В имеют разные знаки, то результат операции неравнозначности равен единице, а если – одинаковые знаки, то результат равен нулю. Поэтому, если А и В имеют:
• разные знаки, то p2n = ап ® bn = 1 Ф 0 = 0 © 1 = 1, что соответствует отрицательному знаку произведения Р;
• одинаковые знаки, то p2n = an ® bn = 1 ® 1 = 0 © 0 = 0, что соответствует положительному знаку произведения Р.
При известном знаке произведения определяется его абсолютное значение перемножением модулей сомножителей (без учета их знаков).
studme.org
Арифметические действия в позиционных системах счисления
Рассмотрим два основных арифметических действия: сложение и умножение в различных системах счисления.
Пятеричная система счисления
Найдем 2345 + 3125. Складывать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.
Используя таблицу сложения можно также и вычитать числа в пятеричной системе счисления:
Найдем 2035 345. Вычитать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.
Сложение и вычитание можно выполнять и не используя таблицу сложения.
- при сложении чисел в пятеричной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 5!
- при вычитании в старшем разряде мы занимаем не 10, а 5 единиц.
Если выполнение операций сложения и вычитания поручить формальному исполнителю, например компьютеру, тогда необходимо хранить в его памяти таблицу сложения, т.е. 5*5=25 ячеек памяти будет занято под таблицу.
Найдем 135 * 245. Умножать будем в «столбик», используя таблицу умножения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.
Столько правил необходимо было бы «запомнить» компьютеру, если бы он работал в пятеричной системе счисления. Сравните с «нашей» десятичной системой счисления: 10*10 = 100 правил сложения и 9*9 = 81 правило умножения!
Двоичная система счисления
Составим таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления.
Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера храниться в двоичном коде (в виде 0 и 1).
Рассмотрим примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления.
- при сложении чисел в двочной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 2!
- при вычитании в старшем разряде мы занимаем не 10, а 2 единицы.
Троичная система счисления
Заполните самостоятельно таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления.
school6.tgl.ru