Правило гипотенузы

Правило гипотенузы

Свойство. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0

Свойство. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного равны катетам другого.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного равны гипотенузе и катету другого.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если острый угол и сторона одного равны острому углу и стороне другого.

Теорема Пифагора

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Соотношение углов и сторон прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Важные значения! ИХ ОБЯЗАТЕЛЬНО ЗАПОМНИТЬ!

Высота прямоугольного треугольника, проведенного из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

fizmat.by

Прямоугольный треугольник. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов – прямой = .

  • — катеты
  • — гипотенуза
  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  • по двум катетам:
  • по катету и гипотенузе: или
  • по катету и прилежащему острому углу: или
  • по катету и противолежащему острому углу: или
  • по гипотенузе и остром углу: или .

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

  • одному острому углу: или
  • из пропорциональности двух катетов:
  • из пропорциональности катета и гипотенузы: или .

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .

Высота прямоугольного треугольника: или .

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы (точка О).
  • Радиус описанной окружности: .

Площадь прямоугольного треугольника:

  • через катеты:
  • через катет и острый угол: .

В задачах прямой угол вовсе не обязательно – левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,

и в таком

Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну. во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза. Внимание на рисунок!

Запомни и не путай: катетов – два, а гипотенуза – всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!

Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора.

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, Теорема Пифагора:

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.

Правда, похоже на какие – то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.


На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора

А Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений и так далее. Не было надписей . Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами. А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

Теперь уже должно быть легко:

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье «Синус, косинус. ». Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

А почему же всё только про угол ? Где же угол ? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 — 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!

1.
Вообще-то звучит это так:

А что же угол ? Есть ли катет, который находится напротив угла , то есть противолежащий (для угла ) катет? Конечно, есть! Это катет !

А как же угол ? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу ? Конечно же, катет . Значит, для угла катет – прилежащий, и

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

Видишь, как здорово:

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого! Итак, запомни очень твёрдо:

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу ? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла . А катет ? Прилегает к углу . Значит, что у нас получилось?

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Вспомним теперь про угол . Что будет для него? Правильно:

И теперь снова углы и совершили обмен:

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

Запомни эту табличку как таблицу умножения – и ты сможешь решить много задач про прямоугольный треугольник. Во всяком случае, все задачи первой части ЕГЭ, в которых участвует прямоугольный треугольник, тебе точно будут «по зубам»!
Если тебе хочется научиться решать более сложные задачи, то нужно узнать ещё некоторые замечательные факты о прямоугольном треугольнике – читай следующие уровни теории!

Главная теорема о прямоугольном треугольнике – теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок – освежай знания

Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной .

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и !

А теперь соединим отмеченные точки

Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата? Правильно, . А площадь меньшего? Конечно, . Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами. Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна .

Давай теперь соберем всё вместе.

Вот и побывали мы Пифагором – доказали его теорему древним способом.

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:

Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе

Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.

И ещё раз всё это в виде таблички:

Заметил ли ты одну очень удобную вещь? Посмотри на табличку внимательно.

Это очень удобно!

Признаки равенства прямоугольных треугольников

I. По двум катетам

II. По катету и гипотенузе

III. По гипотенузе и острому углу

IV. По катету и острому углу

a)

b)

Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:

То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ, несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.

Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих – противолежащим.

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников? Загляни в тему «Треугольник» и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны. А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

I. По острому углу

II. По двум катетам

III. По катету и гипотенузе

Медиана в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

Проведём диагональ и рассмотрим точку — точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

  • Точкой пересечения диагонали делятся пополам
  • Диагонали равны

И что из этого следует?

Вот и получилось, что

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку

Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это – ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?

Высота в прямоугольном треугольнике

Вот давай мы начнём с этого «кроме того. ».

Но у подобных треугольников все углы равны!

То же самое можно сказать и про и

А теперь нарисуем это вместе:

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например – две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Запишем отношения соответствующих сторон:

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу «Высота в прямоугольном треугольнике»:

Как же получить вторую?

А теперь применим подобие треугольников и .

Итак, применим подобие: .

Что теперь получится?

Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу «Высота в прямоугольном треугольнике»:

Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее. Запишем их ещё раз

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!

Комментарии

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

youclever.org

Правило гипотенузы

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один угол прямой (равен \(90^\circ\)).

Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются катетами , а сторона, противолежащая прямому углу, − гипотенузой . На приведенном рисунке стороны \(AC\) и \(BC\) являются катетами, сторона \(AB\) − гипотенузой. Длины катетов равны \(a\), \(b\). Длина гипотенузы составляет \(c\).

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\):
\(\alpha + \beta = 90^\circ\)

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\(\sin \alpha = \large\frac\normalsize\), \(\sin \beta = \large\frac\normalsize\)

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
\(\cos \alpha = \large\frac\normalsize\), \(\cos \beta = \large\frac\normalsize\)

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
\(\tan \alpha = \large\frac\normalsize\), \(\tan \beta = \large\frac\normalsize\)

Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:
\(\cot \alpha = \large\frac\normalsize\), \(\cot \beta = \large\frac\normalsize\)

Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:
\(\sec \alpha = \large\frac\normalsize\), \(\sec \beta = \large\frac\normalsize\)

Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:
\(\csc \alpha = \large\frac\normalsize\), \(\csc \beta = \large\frac\normalsize\)

Теорема Пифагора
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\( + = \)

\( = fc\), \( = gc\),
где \(f\) и \(g\) − проекции, соответственно, катетов \(a\) и \(b\) на гипотенузу \(c\).

\( = fg\),
где \(h\) − высота, проведенная от прямого угла к гипотенузе \(c\), а \(f\) и \(g\) − проекции, соответственно, катетов \(a\) и \(b\) на гипотенузу.

Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника
\(m_a^2 = — \large\frac<<>><4>\normalsize\), \(m_b^2 = — \large\frac<<>><4>\normalsize\),
где \(\) и \(\) − медианы, опущенные на катеты \(a\) и \(b\).

Медиана, проведенная к гипотенузе
\( = \large\frac<2>\normalsize\), где \(\) − медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу \(c\).

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
\(R = \large\frac<2>\normalsize = \)

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
\(r = \large\frac<><2>\normalsize = \large\frac<><>\normalsize\)

Площадь прямоугольного треугольника
\(S = \large\frac<><2>\normalsize = \large\frac<><2>\normalsize\)

www.math24.ru

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Урок 23. Геометрия 7 класс

Конспект урока «Некоторые свойства прямоугольных треугольников»

Вспомним, что прямоугольным называют треугольник, который содержит прямой угол. Две стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а противолежащую сторону — гипотенузой прямоугольного треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

Пусть АВС — прямоугольный треугольник, у которого ∠С=90 градусов.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то:

Что и требовалось доказать.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Пусть АВС — прямоугольный треугольник, у которого ∠С=90 градусов, а ∠А=30 градусов. А тогда по теореме о сумме углов треугольника ∠В=60 градусов. Докажем, что катет ВС равен половине гипотенузы АВ.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АСD следующим образом:

Получили, что у треугольника АВD все углы равны по 60 градусов, то есть он является равносторонним. Получаем:

Что и требовалось доказать.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусов.

Пусть АВС — прямоугольный треугольник, у которого катет ВС равен половине гипотенузы АВ. Докажем, что угол ВАС=30 градусов.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АСD следующим образом:

Получили равносторонний треугольник АВD. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам. Полуаем:

Что и требовалось доказать.

Сумма гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30 градусов, равна 15 сантиметров. Найти длину гипотенузы.

Пусть АВС — прямоугольный треугольник. ∠А=30 градусов. Получим:

Подставим это в предыдущее равенство и получаем:

В прямоугольном треугольнике АВС, ∠С=90 градусов, а ∠ВАС=60 градусов. Найти длину катета ВС, если высота СD треугольника АСВ равна 5 сантиметров.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. ∠АСВ=90 градусов, ∠ВАС=60 градусов. А так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, то ∠АВС=90-60=30 градусов.

Рассмотрим треугольник ВСD, который является прямоугольным, так как СD — высота и ∠СВD=30 градусов, то катет СD лежит против угла в 30 градусов. Следовательно, по выше доказанному свойству, гипотенуза ВС=2*5=10 см.

Отрезок СD — высота прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, ВС=2*ВD. Доказать, что АВ=4*ВD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD:

У него ∠ВСD=30 градусов, так как по условию ВС=2*ВD.

По условию задачи ∠АСВ=90 градусов, а ∠ВСD=30 градусов, значит, ∠АСD=60 градусов.

Так как СD — высота, то треугольник АСD — прямоугольный. ∠АСD=60 градусов. Следовательно, ∠САD=30 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник АВС. У него ∠ВАС=30 градусов. Следовательно, гипотенуза АВ=2*ВС, так как катет ВС лежит против угла в 30 градусов. По условию задачи ВС=2*ВD.

videouroki.net

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Запомнить соотношения, связывающие пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, помогает цветовая ассоциация.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Свойства прямоугольного треугольника:

1. Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Например, в треугольнике ABC AF — высота, проведенная к гипотенузе BC, BF — проекция катета AB на гипотенузу, FC — проекция катета AC на гипотенузу.

Если выделить каждую пару — катет и его проекция на гипотенузу — одним цветом, запомнить пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можно быстро и легко.

Как бы ни был расположен на чертеже прямоугольный треугольник, цветовая ассоциация поможет найти пропорциональные отрезки и правильно составить связывающие их соотношения:

Выделить пропорциональные отрезки цветами можно на черновике. При решении задачи, в которой прямоугольный треугольник — только один из элементов чертежа, достаточно для нахождения связи между пропорциональными отрезками на черновике изобразить отдельный фрагмент с этим треугольником.

www.uznateshe.ru

Популярное:

  • Шаблоны писем претензий Как легко написать письмо-претензию. Пошаговая инструкция Претензия – это часть диалога между партнерами. Справедливая претензия – это возможность защитить свои права и стимулировать партнера выполнять обязательства. Конечно, […]
  • Приказ правительства вологодской области Постановление Правительства Вологодской области от 26 марта 2018 г. N 251 "О внесении изменений в постановление Правительства области от 29 июля 2013 года N 783" Обзор документа Пересмотрены размеры выплат […]
  • Типы визовых разрешений Нужна ли виза для посещения Непала? Непал — один из знаменитых туристических центров, который пользуется особой популярностью. В нынешнем 2017 году иностранным гражданам для поездки в Непал нужна виза. Строгих требований к […]
  • Образец приказ о проведении соревнований Образец приказ о проведении соревнований Агромясопром - Бодрость 3:2 (1:0) КПРФ - Рем Гуд 10:2 (4:0) Техноком - Бизнес-Софт 7:1 Локомотив - СтильДревСтрой 5:0 тп неявка 19.00 СтильДревСтрой - КПРФ П 19.00 Бизнес […]
  • Армения патент на работу для граждан армении 2018 Патент на работу для граждан Армении С января 2015 года Республика Армения вступила в Евразийский экономический союз, что означает, что иностранные граждане, прибывшие в Россию на безвизовом основании из Армении, могут […]
  • Правило умножение круглых чисел Правило умножение круглых чисел 1. Допиши равенства и объясни их смысл: 2. Найди значения выражений удобным способом. Объясни, как получили эти равенства. Какие свойства умножения здесь используются? Сделай вывод: как можно […]
  • Федеральный закон по охране труда 181 Федеральный закон от 17 июля 1999 г. N 181-ФЗ "Об основах охраны труда в Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) (утратил силу) Федеральный закон от 17 июля 1999 г. N 181-ФЗ"Об основах охраны труда в Российской […]
  • Применение ккм штраф Штрафы за неприменение ККТ рассчитываются по-новому С 15.07.2016 вступили в силу изменения в КоАП, касающиеся штрафных санкций за неприменение контрольно-кассовой техники. Теперь сумма штрафа зависит от суммы непробитого […]