Правило касательных

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки ( секущая).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB.

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади


  1. Длина окружностиC радиуса R вычисляется по формуле:

C = 2 R.

Площадь Sкруга радиуса R вычисляется по формуле:

S = R 2 .

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

L = R .

Площадь Sсектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

S = R 2 .

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

r = ,

где S — площадь треугольника, а полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

R = ,

R = ;

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    + = + = 180°;

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    a + c = b + d;

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    www.univer.omsk.su

    Узнать ещё

    Знание — сила. Познавательная информация

    Свойства касательных

    Свойства касательных широко используются при решении самых разных геометрических задач.

    Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

    OA — радиус, проведенный в точку касания окружности,

    c — касательная к окружности.

    (Свойство касательных, проведенных из одной точки)

    Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

    Цветовая визуализация позволяет легко запомнить это свойство касательных.

    Выделение в цвете равных отрезков касательных помогает понять ход решения задач с окружностями, вписанными в треугольник, ромб, трапецию (особенно при первом знакомстве с такими задачами).

    1) для окружности, вписанной в треугольник, по свойству касательных, проведенных из одной точки, верны три равенства:

    2) Для окружности, вписанной в ромб, по свойству касательных:

    3) Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, для трапеции:

    AM = AP

    www.uznateshe.ru

    Касательная к окружности

    Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

    Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

    . Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

    Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.

    . Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

    Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .

    . Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.

    Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .

    Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

    . К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.

    Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
    Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
    Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.

    Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

    Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

    . Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.

    Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
    Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

    Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и .
    Очевидно, что площадь многоугольника .
    Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

    ege-study.ru

    Касательная, секущая, хорда

    Касательная к окружности

    Прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности .

    • Касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведенному к точке касания;
    • Через любую точку вне окружности можно провести ровно две касательные к окружности;
    • Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, от общей точки до точек касания равны друг другу.

    Секущая — это прямая, пересекающая окружность в двух точках.

    Две секущие образуют угол, в который попадают две дуги окружности. В этом случае говорят, что секущие высекают эти дуги.

    Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности .

    • Самая длинная хорда окружности — это диаметр ;
    • Равные хорды стягивают дуги одинаковой градусной меры ;
    • Если хорда стягивает дугу с градусной мерой α \alpha α , то ее длина l = 2 R sin α 2 l=2R\sin<\frac<\alpha ><2>> l = 2 R sin 2 α ​ .

    Угол между касательной и хордой

    Угол между хордой окружности и касательной , проведенной в одном из концов хорды , равен половине дуги, которую стягивает эта хорда .

    Угол между касательной и хордой является вырожденным случаем вписанного угла, в котором вершина угла совпадает с одним из концов дуги.

    Угол между секущими

    Если точка пересечения двух секущих к окружности находится внутри окружности, то угол между секущими равен полусумме дуг, которые они высекают.

    Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают.

    Теорема выполняется, если заменить секущую на касательную к окружности.

    lampa.io

    Уравнение касательной к графику функции

    Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f ( x 0). Тогда прямая, проходящая через точку ( x 0; f ( x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’( x 0), называется касательной .

    А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:

    1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = | x | в точке (0; 0).
    2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).

    Уравнение касательной

    Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

    Итак, пусть дана функция y = f ( x ), которая имеет производную y = f ’( x ) на отрезке [ a ; b ]. Тогда в любой точке x 0 ∈ ( a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

    Здесь f ’( x 0) — значение производной в точке x 0, а f ( x 0) — значение самой функции.

    Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.

    Уравнение касательной: y = f ’( x 0) · ( x − x 0) + f ( x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f ( x 0) и f ’( x 0) придется вычислять.

    Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f ( x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
    Теперь найдем производную: f ’( x ) = ( x 3 )’ = 3 x 2 ;
    Подставляем в производную x 0 = 2: f ’( x 0) = f ’(2) = 3 · 2 2 = 12;
    Итого получаем: y = 12 · ( x − 2) + 8 = 12 x − 24 + 8 = 12 x − 16.
    Это и есть уравнение касательной.

    Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f ( x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.

    В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

    f ( x 0) = f ( π /2) = 2sin ( π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
    f ’( x ) = (2sin x + 5)’ = 2cos x ;
    f ’( x 0) = f ’( π /2) = 2cos ( π /2) = 0;

    y = 0 · ( x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

    В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

    www.berdov.com

    Популярное:

    • Пособие по монтажу вентиляции Инструкция к монтажу системы вентиляции Предварительно нужно подготовить кровлю к монтажу системы вентиляции. Для этого нужно: I. Установить манжеты из ЭПДМ – резины, в местах, где будут вмонтированы вентиляционные трубы и […]
    • Правило тренажер славянский Правило тренажер славянский древности, как известно из истории, славяне всегда заботились о тренировке тела и духа, учили человека слушать и чувствовать свою плоть. И эта древняя славянская традиция была положена в основу […]
    • Закон теплового излучения стефана больцмана Закон теплового излучения стефана больцмана Для реальных тел закон Стефана-Больцмана выполняется лишь качественно, то есть с ростом температуры энергетические светимости всех тел увеличиваются. Однако, для реальных тел […]
    • Заявление на работу студента Общежития ОПЛАТА ЗА ПРОЖИВАНИЕ: Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет предоставляет своим обучающимся места в студенческих общежитиях, расположенных г. Мытищи,Северо-Восточном, […]
    • Основной закон теплопроводности закон фурье Электронная библиотека Рассмотрим элемент изотермической поверхности площадью dF (рис. 1.6). По направлению нормали n покажем вектор grad θ. Он, как уже отмечалось, направлен в сторону повышения температуры. Следовательно, поток […]
    • Статистика нижегородской области преступления 18.09.2013 О состоянии правопорядка на территории г. Нижнего Новгорода и результатах оперативно-служебной деятельности Управления МВД России по Нижнему Новгороду за 8 месяцев 2013 года О состоянии правопорядка на территории г. […]
    • Найти плотность распределения нормального закона Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию. § 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 5. Нормальное распределение. Говорят, что случайная величина нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, […]
    • Заявление на лицензию утилизация отходов Лицензия на отходы: включая сбор-транспортировку в 2017 Лицензия на отходы необходима, чтобы владеть, пользоваться или распоряжаться отходами 1-4 класса опасности (п. 30 ч. 1 ст. 12 № 99-ФЗ от 04.05.2011 «О лицензировании […]