Правило сложения чисел с отрицательными знаками

Вычитание отрицательных чисел

Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.

Если « a » и « b » — положительные числа, то вычесть из числа « a » число « b », значит найти такое число « c », которое при сложении « с » числом « b » даёт число « a ».

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа « b » — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу « b ».

Стоит запомнить выражения ниже.

Правила вычитания отрицательных чисел

Как видно из примеров выше вычитание числа « b » — это сложение с числом противоположным числу « b ».

Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.

Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем « + », а если знаки разные, то получаем « − ».

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

math-prosto.ru

Сложение отрицательных чисел, правило, примеры.

В этой статье мы поговорим про сложение отрицательных чисел. Сначала дадим правило сложения отрицательных чисел и докажем его. После этого разберем характерные примеры сложения отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Правило сложения отрицательных чисел

Прежде чем дать формулировку правила сложения отрицательных чисел, обратимся к материалу статьи положительные и отрицательные числа. Там мы упоминали, что отрицательные числа можно воспринимать как долг, а модуль числа в этом случае определяет величину этого долга. Следовательно, сложение двух отрицательных чисел – это есть сложение двух долгов.

Этот вывод позволяет осознать правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:

  • сложить их модули;
  • поставить перед полученной суммой знак минус.

Запишем правило сложения отрицательных чисел −a и −b в буквенном виде: (−a)+(−b)=−(a+b) .

Понятно, что озвученное правило сводит сложение отрицательных чисел к сложению положительных чисел (модуль отрицательного числа является числом положительным). Также понятно, что результатом сложения двух отрицательных чисел является отрицательное число, о чем свидетельствует знак минус, который ставится перед суммой модулей.

Правило сложения отрицательных чисел можно доказать, основываясь на свойствах действий с действительными числами (или таких же свойствах действий с рациональными или целыми числами). Для этого достаточно показать, что разность левой и правой частей равенства (−a)+(−b)=−(a+b) равна нулю.

Так как вычитание числа – это все равно, что прибавление противоположного числа (смотрите правило вычитания целых чисел), то (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b) . В силу переместительного и сочетательного свойств сложения имеем (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Так как сумма противоположных чисел равна нулю, то (−a+a)+(−b+b)=0+0 , а 0+0=0 в силу свойства сложения числа с нулем. Этим доказано равенство (−a)+(−b)=−(a+b) , а значит, и правило сложения отрицательных чисел.

Таким образом, данное правило сложения применимо как к отрицательным целым числам, так и к рациональным числам, а также к действительным числам.

Осталось лишь научиться применять правило сложения отрицательных чисел на практике, что мы и сделаем в следующем пункте.

Примеры сложения отрицательных чисел

Разберем примеры сложения отрицательных чисел. Начнем с самого простого случая – сложения отрицательных целых чисел, сложение будем проводить по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте.

Выполните сложение отрицательных чисел −304 и −18 007 .

Выполним все шаги правила сложения отрицательных чисел.

Сначала находим модули складываемых чисел: и . Теперь нужно сложить полученные числа, здесь удобно выполнить сложение столбиком:

Теперь ставим знак минус перед полученным числом, в результате имеем −18 311 .

Запишем все решение в краткой форме: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .

Сложение отрицательных рациональных чисел в зависимости от самих чисел можно свести либо к сложению натуральных чисел, либо к сложению обыкновенных дробей, либо к сложению десятичных дробей.

Сложите отрицательное число и отрицательное число −4,(12) .

По правилу сложения отрицательных чисел сначала нужно вычислить сумму модулей. Модули складываемых отрицательных чисел равны соответственно 2/5 и 4,(12) . Сложение полученных чисел можно свести к сложению обыкновенных дробей. Для этого переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: . Таким образом, 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Теперь выполним сложение дробей с разными знаменателями: .

Осталось поставить перед полученным числом знак минус: . На этом сложение исходных отрицательных чисел завершено.

.

По этому же правилу сложения отрицательных чисел складываются и отрицательные действительные числа. Здесь стоит отметить, что результат сложения действительных чисел очень часто записывается в виде числового выражения, а значение этого выражение вычисляется приближенно, и то при необходимости.

Для примера найдем сумму отрицательных чисел и −5 . Модули этих чисел равны квадратному корню из трех и пяти соответственно, а сумма исходных чисел равна . В таком виде и записывается ответ. Другие примеры можно посмотреть в статье сложение действительных чисел.

www.cleverstudents.ru

Сложение отрицательных чисел: правило, примеры

В рамках этого материала мы затронем такую важную тему, как сложение отрицательных чисел. В первом параграфе мы расскажем основное правило для этого действия, а во втором – разберем конкретные примеры решения подобных задач.

Основное правило сложения натуральных чисел

Перед тем, как вывести правило, вспомним, что мы вообще знаем о положительных и отрицательных числах. Ранее мы условились, что отрицательные числа нужно воспринимать как долг, убыток. Модуль отрицательного числа выражает точные размеры этого убытка. Тогда сложение отрицательных чисел можно представить как сложение двух убытков.

Воспользовавшись этим рассуждением, сформулируем основное правило сложения отрицательных чисел.

Для того чтобы выполнить сложение отрицательных чисел, нужно сложить значения их модулей и поставить минус перед полученным результатом. В буквенном виде формула выглядит как ( − a ) + ( − b ) = − ( a + b ) .

Исходя из этого правила, можно сделать вывод, что сложение отрицательных чисел аналогично сложению положительных, только в итоге у нас обязательно должно получиться отрицательное число, ведь перед суммой модулей надо ставить знак минус.

Какие можно привести доказательства этого правила? Для этого нам потребуется вспомнить основные свойства действий с действительными числами (или с целыми, или с рациональными –они одинаковы для всех этих типов чисел). Для доказательства нам нужно всего лишь продемонстрировать, что разность левой и правой части равенства ( − a ) + ( − b ) = − ( a + b ) будет равна 0 .

Вычесть одно число из другого – это то же самое, что и прибавить к нему такое же противоположное число. Следовательно, ( − a ) + ( − b ) − ( − ( a + b ) ) = ( − a ) + ( − b ) + ( a + b ) . Вспомним, что числовые выражения со сложением обладают двумя основными свойствами – сочетательным и переместительным. Тогда мы можем сделать вывод, что ( − a ) + ( − b ) + ( a + b ) = ( − a + a ) + ( − b + b ) . Поскольку, сложив противоположные числа, мы всегда получаем 0 , то ( − a + a ) + ( − b + b ) = 0 + 0 , а 0 + 0 = 0 .Наше равенство можно считать доказанным, значит, и правило сложения отрицательных чисел мы тоже доказали.

Задачи на сложение отрицательных чисел

Во втором параграфе мы возьмем конкретные задачи, где нужно складывать отрицательные числа, и попробуем применить в них изученное правило.

Найдите сумму двух отрицательных чисел — 304 и — 18 007 .

Решение

Выполним действия пошагово. Сначала нам надо найти модули складываемых чисел: — 304 = 304 , — 180007 = 180007 . Далее нам нужно выполнить действие сложения, для чего мы используем метод подсчета столбиком:

Все, что нам осталось, – это поставить минус перед результатом и получить — 18 311 .

Ответ: — — 18 311 .

От того, какие у нас числа, зависит, к чему мы можем свести действие сложения: к нахождению суммы натуральных чисел, к сложению обыкновенных или десятичных дробей. Разберем задачу с такими числами.

Найдите сумму двух отрицательных чисел — 2 5 и − 4 , ( 12 ) .

Решение

Находим модули искомых чисел и получаем 2 5 и 4 , ( 12 ) . У нас получились две разные дроби. Сведем задачу к сложению двух обыкновенных дробей, для чего представим периодическую дробь в виде обыкновенной:

4 , ( 12 ) = 4 + ( 0 , 12 + 0 , 0012 + . . . ) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

В итоге мы получили дробь, которую будет легко сложить с первым исходным слагаемым (если вы забыли, как правильно складывать дроби с разными знаменателями, повторите соответствующий материал).

2 5 + 136 33 = 2 · 33 5 · 33 + 136 · 5 33 · 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

В итоге мы получили смешанное число, перед которым нам осталось только поставить минус. На этом расчеты завершены.

Ответ: — 4 86 105 .

Действительные отрицательные числа складываются аналогичным образом. Результат такого действия принято записывать числовым выражением. Его значение можно и не вычислять или ограничиться примерными расчетами. Так, к примеру, если нам надо найти сумму — 3 + ( − 5 ) , то ответ мы записываем как — 3 − 5 . Сложению действительных чисел мы посвятили отдельный материал, в котором можно найти и другие примеры.

www.zaochnik.com

Правило сложения чисел с отрицательными знаками

Действия с отрицательными и положительными числами

Абсолютная величина (модуль). Сложение.

Вычитание. Умножение. Деление.

Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

П р и м е р ы : | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.

1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются

их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.

2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные

величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак

числа с большей абсолютной величиной.

Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.

( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;

( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;

( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;

( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;

Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.

Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):

При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.

Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.

Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:

www.bymath.net

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Правило сложения отрицательных чисел

Для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

  • выполнить сложение их модулей;
  • дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Сложить отрицательные числа $-\frac<1><4>$ и $−7,15$.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел сначала необходимо найти сумму модулей:

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

Сложение чисел с противоположными знаками

Правило сложения чисел с противоположными знаками:

  • вычислить модули чисел;
  • выполнить сравнение полученных чисел:

если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;

если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;

  • из большего модуля вычесть меньший;
  • перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Сложить числа $4$ и $−8$.

Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

Найдем модули данных чисел:

Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

Далее от большего модуля отнимем меньший модуль, получим:

Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

Краткая запись решения:

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Вычитание отрицательных чисел

Правило вычитания отрицательных чисел:

Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

Согласно правилу вычитания можно записать:

Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

Вычитание чисел с противоположными знаками

Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

Выполним сложение отрицательных чисел:

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

При вычитании дробных чисел с противоположными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

spravochnick.ru

Популярное:

  • Some any little правило Many/much, a few/a little, any/some: перестаньте путаться раз и навсегда Местоимения, обозначающие количество, вызывают немало трудностей у изучающих английский язык. Все потому, что в русском языке эти пары слов переводятся […]
  • Правила работы с лифтом Правила пользования лифтом и советы по безопасности Лифт – этo тpaнcпopтнoe cpeдcтвo пoвышeннoй oпacнocти, тaкoe жe, кaк мeтpo или aвтoмoбиль. Этo зaпиcaнo в фeдepaльныx нopмaтивныx дoкyмeнтax. И кaк любoe тpaнcпopтнoe cpeдcтвo […]
  • Правило дорожного движения по билетам пдд Билеты ПДД 2018 решать онлайн. На сайте собраны ПДД билеты, идентичные билетам ГИБДД Здравствуйте! Ваша статистика «A, B, М, А1, B1» В помощь водителю Просмотр билетов «A, B» «книжный вариант» ПДД Билеты к себе на сайт Будь […]
  • Правила пдд 2018 категория е Экзаменационные билеты ПДД категории СД 2018 года Экзаменационные билеты CD ГИБДД 2018 Официальные экзаменационные билеты категории СД 2018 года. Билеты и комментарии составлены на основе ПДДот 18 июля 2018 года (применяются с […]
  • Правило употребления неопределенного артикля Артикль — The Article: общие сведения — основные формы артиклей в английском языке Артикли являются основными определителями имен существительных. Прежде чем употреблять какое-нибудь существительное, необходимо решить, […]
  • Passive voice правила Passive Voice — Страдательный (пассивный) залог в английском языке В английском языке, как и в русском, глаголы могут иметь два залога: действительный (Active Voice) и страдательный (Passive voice). I write a letter. Я пишу […]
  • Реестр адресов санкт-петербурга spb-projects.ru Форум ресурса "Проекты Петербурга" Реестр названий объектов городской среды Санкт-Петербурга Реестр названий объектов городской среды Санкт-Петербурга Сообщение Randy » Пн мар 02, 2009 23:36 Реестр наименований […]
  • Заявление о лишении род прав отца Исковое заявление (иск) о лишении родительских прав (отца, матери) в отношении несовершеннолетнего ребенка , детей (ст. 69 СК РФ) Комментарий автора иска - адвоката В. Н. Соловьева: Суд удовлетворит иск, если будет […]