Правило сочетательного закона умножения

Умножение и его свойства

Определение. Умножение — это действие в результате которого находят сумму одинаковых слагаемых. Умножить число а на число Ь означает найти сумму Ь слагаемых, каждое из которых равно а.

Числа, которые перемножаются, называются множителями (или сомножителями), а результат умножения — произведением .

При умножении натуральных чисел произведение всегда число положительное. Если один из множителей равен 0 (нулю), то произведение равно 0. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен 0.

Если один из двух множителей равен 1 (единице), То произведение равно второму множителю.

  • Например:
  • 5 * 6 * 8 * 0 = 0
  • 132 * 1 = 132

Законы умножения

Сочетательный закон

Правило. Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.

  • Например:
  • (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
  • (a * b) * c = a * (b * c)

Переместительный закон

Правило. От перестановки множителей произведение не изменяется.

  • Например:
  • 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
  • а * Ь * с = с * Ь * а

Распределительным закон

Правило. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.

  • Например:
  • 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
  • a * (b + c) = ab + ac

Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.

  • Например:
  • 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Законы умножении распространяются на любое количество множителей в числовом или буквенном выражении. Распределительный закон умножения используется для вынесения общего множителя за скобки.

Правило. Чтобы преобразовать сумму (разность) в произведение, достаточно вынести за скобки одинаковый множитель слагаемых, а оставшиеся множители записать в скобках суммой (разностью).

  • Например:
  • 7 * 8 — 7 * 5 = 7 * (8 — 5)
  • аЬ + ас = а * (Ь + с)

Вынесение множителя за скобки для больших числовых или буквенных выражений можно производить по группам слагаемых.

shkolo.ru

интернет проект BeginnerSchool.ru

Сайт для детей и их родителей

Математические законы

Ранее мы говорили о порядке выполнения математических действий. Продолжим изучение математических законов и сегодня поговорим о следующем:

  • о переместительном законе сложения;
  • о сочетательном законе сложения;
  • о переместительном законе умножения;
  • о сочетательном законе умножения;
  • о распределительном законе.

Переместительный закон сложения

У Маши 3 яблока, а у Миши 4. Сколько яблок у детей?

Для решения этой задачи надо сложить вместе 3 Машиных яблока и 4 Мишиных:

3 + 4 = 7

Ответ: У детей 7 яблок.

А изменится ли ответ если яблоки складывать в другом порядке, то есть к 4 Мишиным прибавить 3 Машиных яблока?

4 + 3 = 7

Мы убедились, что не важно, в каком порядке складывать числа (слагаемые). Результат (сумма) будет одинаковым:

3 + 4 = 4 + 3 = 7

Это и есть переместительный закон сложения , он звучит так:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Сочетательный закон сложения

В двух коробках лежат фломастеры по 80 штук в каждой. В одну коробку положили ещё 23 фломастера. Сколько всего стало фломастеров?

Эту задачу можно решить следующим образом:

(80 + 23) + 80 = 183

80 + (80 + 23) = 183

Результат получается один и тот же:

(80 + 23) + 80 = 80 + (80 + 23) = 183

Отсюда следует важное правило вычислений:

Складывая несколько слагаемых, можно группировать их в любом порядке.

Переместительный закон умножения

Катя купила 5 булочек по 20 рублей, а Коля 20 булочек по 5 рублей. Кто заплатил больше денег?

Итак, вычислим, сколько заплатила Катя:

5 × 20 = 100

Теперь вычислим, сколько заплатил Коля:

20 × 5 = 100

Мы видим, что результат одинаковый. Катя и Коля заплатили одинаковые суммы.

В результате решения этой задачи мы убедились, что не важно, в каком порядке перемножать числа (множители), результат (произведение) получится один и тот же:

5 × 20 = 20 × 5 = 100

Это и есть переместительный закон умножения , он звучит так:

От перемены мест множителей произведение не меняется.

Сочетательный закон умножения

В упаковке 6 пакетов сока. В контейнер входит 10 таких упаковок. Сколько пакетов сока входит в 5 таких контейнеров.

Решим эту задачу, вычислим, сколько пакетов сока в контейнере, а затем в 5 контейнерах:

(6 × 10) × 5 = 300

Можно вычислить сначала, сколько упаковок в 5 контейнерах, а затем, сколько всего пакетов сока:

6 × (10 × 5) = 300

Как бы мы не считали, получаем одинаковый результат:

(6 × 10) × 5 = 6 × (10 × 5) = 300

Таким образом, мы убедились в справедливости сочетательного закона умножения :

Перемножая множители, можно их группировать в любом порядке.

Распределительный закон

Вспомним, как можно вычислить периметр прямоугольника, длина которого 28 дм, а ширина 16 дм. Попробуем это сделать разными способами.

Итак, мы знаем, что для вычисления периметра прямоугольника, надо сложить длины всех его сторон:

28 + 28 + 16 + 16 = 88

Учитывая то, что в прямоугольнике 2 длины и 2 ширины можно вычислить периметр следующим способом:

28 × 2 + 16 × 2 = 88

Но ведь можно сложить длину и ширину и умножить на 2:

( 28 + 16) × 2

Таким образом, мы убедились, что можно сначала сложить длину и ширину, а затем умножить на 2, или сначала удвоить длину и ширину, а затем их сложить:

( 28 + 16) × 2 = 28 × 2 + 16 × 2 = 88

Решая нашу задачу, мы доказали справедливость распределительного закона :

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и потом сложить полученные произведения.

Решим ещё один пример:

(7 + 3) × 4

Значение данного выражения можно найти разными способами:

Выполнив действия по порядку:

(7 + 3) × 4 = 10 × 4 = 40

Или применив правило умножения суммы на число:

(7 + 3) × 4 = 7 × 4 + 3 × 4 = 28 + 12 = 40

В результате разных способов вычисления, мы получили одинаковый результат.

Спасибо, что Вы с нами.

  1. Порядок выполнения математических действийСегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия.
  2. Таблица умноженияМы все знаем, что учить таблицу умножения необходимо. А необходимо.
  3. ПлощадьВ этой статье мы разберемся, как вычислить площадь фигуры. Сравнить.
  4. Учим таблицу умножения. День третийПродолжим учить таблицу умножения. Это третий урок цикла “Как выучить.
  5. ПериметрСегодня у нас речь пойдет о том, как вычислить периметр.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Подпишитесь на новости сайта:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

beginnerschool.ru

Свойства умножения и деления

Свойства умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки множителей произведение не меняется.

Сочетательное свойство умножения

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют сформулировать правило преобразования произведений.

При умножении нескольких чисел, их можно как угодно переставлять и объединять в группы.

Свойство нуля при умножении

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

Это свойство справедливо для любого количества слагаемых.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

В буквенном виде свойство записывается так:

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Свойства деления

  • Ни одно число нельзя делить на ноль.
  • При делении нуля на число получается ноль.

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.

, где « k » — любое натуральное число.

Обратите внимание, что именно свойство деления выше позволяет нам сокращать дроби.

Использование всех рассмотренных выше свойств позволяет нам выполнять упрощение выражений.

math-prosto.ru

Правило сочетательного закона умножения

Операции сложения и умножения действительных (а значит, в том числе и натуральных, и целых) чисел обладают следующими свойствами:

  1. a + b = b + a (переместительный закон сложения).
  2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
  3. ab = ba (переместительный закон умножения).
  4. (ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
  5. a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

Рассмотрим эти свойства (законы) более подробно.

Переместительные законы также называются также коммутативными. Их смысл в том, что результат не меняется при перестановке слагаемых или сомножителей.

Переместительный (коммутативный) закон сложения : a + b = b + a . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Переместительный (коммутативный) закон умножения : a · b = b · a . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Сочетательные законы также называют ассоциативными. Их смысл в том, что результат не меняется при группировке слагаемых или сомножителей.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения : ( a · b ) · c = a · ( b · c ) = a · b · c . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

Распределительные законы также называют дистрибутивными. Их смысл для операции произведения заключается в том, что операцию произведения можно выполнить по частям – для каждого слагаемого, входящего во второй сомножитель.

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения : c · ( a + b ) = c · a + c · b .

Также существует распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания : c · ( a – b ) = c · a – c · b .

Переместительные законы не действуют в отношении вычитания и деления, так как для этих операций порядок следования аргументов (уменьшаемое и вычитаемое, делимое и делитель) влияет на получаемый результат.

uclg.ru

Сочетательный закон

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Смотреть что такое «Сочетательный закон» в других словарях:

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — см. Ассоциативность … Большой Энциклопедический словарь

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН, правило сочетания в математике, согласно которому результат двух или более операций не зависит от порядка, в котором эти операции выполняются. Таким образом, обычные операции сложения и умножения чисел подчиняются… … Научно-технический энциклопедический словарь

сочетательный закон — asociatyvumo dėsnis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. associative law vok. assoziatives Gesetz, n rus. ассоциативный закон, m; сочетательный закон, m pranc. loi d associativité, f ryšiai: sinonimas – jungiamumo dėsnis … Automatikos terminų žodynas

сочетательный закон — см. Ассоциативность. * * * СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН, см. Ассоциативность (см. АССОЦИАТИВНОСТЬ) … Энциклопедический словарь

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — см. Ассоциативность … Большой энциклопедический политехнический словарь

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — см. Ассоциатив ность … Естествознание. Энциклопедический словарь

Сочетательный закон — … Википедия

Ассоциативность (сочетательность, сочетательный закон) — (от лат. associtio соединение) свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами (а + b) + с = = а + (b + с) и (аb) с = a (bc) … Начала современного естествознания

ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ — (сочетательный закон) закон, выражающий независимость суммы или произведения от замены некоторых слагаемых их суммой или некоторых сомножителей их произведением, т.е. (а + b) + с = а + (b + с) = а + b + с; (аb)с = а(bс) = abc … Большая политехническая энциклопедия

ассоциативный закон — asociatyvumo dėsnis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. associative law vok. assoziatives Gesetz, n rus. ассоциативный закон, m; сочетательный закон, m pranc. loi d associativité, f ryšiai: sinonimas – jungiamumo dėsnis … Automatikos terminų žodynas

dic.academic.ru

Популярное:

  • Правило для админов в кс 16 Реальные пацаны - Форум игровых серверов Counter Strike 1.6 Правила Для Админов Сервера Реальные Пацан. Нравится Не нравится Pickwick 27 авг. 2013 Запрещено: 1 . Материться и оскорблять игроков на наших серверах. 2 . […]
  • Правило как упрощать выражения Упрощение выражений Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений. Научимся, как можно с помощью этих свойств упрощать […]
  • Правила еэк оон no 8 Правила еэк оон no 8 Настоящие Правила применяются к задним опознавательным для: сочлененных транспортных средств классов II и III категории М2; транспортных средств категории N3, за исключением тягачей, буксирующих […]
  • Тело колеблется по закону Механические и электромагнитные колебания 4. Колебания и волны 1. Гармонические колебания величины s описываются уравнением s = 0,02 cos (6πt + π/3), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) циклическую частоту; 3) частоту […]
  • Закон фз 143 Федеральный закон от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ "Об актах гражданского состояния" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ"Об актах гражданского состояния" С изменениями и дополнениями […]
  • План ликвидации аварий угольных шахт План ликвидации аварий угольных шахт должностных лиц, ответственных за выполнение мероприятий ПЛА, и их обязанности; исполнителей мероприятий ПЛА. ПЛА разрабатывается техническим руководителем (главным инженером) шахты и […]
  • Калькулятор осаго 2018г Реальна ли отмена полисов страховки ОСАГО в 2017-2018 годах? Безаварийный страховой стаж (полных лет): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10+ Если у вас было ДТП Конечный результат может отличаться в зависимости от наличия ДТП во всей страховой […]
  • Закон о защите конкуренции 2006 г Федеральный закон от 26 июля 2006 г. N 135-ФЗ "О защите конкуренции" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 26 июля 2006 г. N 135-ФЗ"О защите конкуренции" С изменениями и дополнениями от: 1 декабря 2007 г., 29 […]