Закон кирхгофа в д

Закон кирхгофа в д

5.2. Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма всех токов, втекающих в любой узел, равна нулю. Токи, втекающие в узел, условно принимаются положительными, а вытекающие из него — отрицательными (или наоборот). Если, например, в узел втекает ток II, а вытекают токи 12 и 13, то первый закон Кирхгофа может быть записан в виде выражения: 11-12-13=0.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений на всех участках контура.

При применении второго закона Кирхгофа необходимо учитывать знаки ЭДС и выбранное направление токов на всех участках контура. Направление обхода контура выбирается произвольным; при записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода независимо от направления протекающего через них тока, принимаются положительными, а ЭДС обратного направления принимаются отрицательными. При записи правой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения на тех участках, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода независимо от направления ЭДС на этих участках, и со знаком минус — на участках, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода.

Общая методика применения законов Кирхгофа для расчета сложных многоконтурных цепей такова. Устанавливается число неизвестных токов, которое равно числу ветвей р. Для каждой ветви задается положительное направление тока. Число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов q (точек соединения не менее чем трех проводников) минус единица, т.е.д-1. Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно числу контуров n=p-q+\. Общее число уравнений, составляемых по первому и второ му законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов р. Решение этой системы уравнений и дает значения искомых токов.

Для иллюстрации изложенной методики рассмотрим многоконтурную цепь постоянного тока на рис. 5.4. В этой цепи всего три узла: А, В и С (q =3), следовательно, число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, будет на единицу меньше, т.е. два. При числе ветвей цепи р=5 число контуров п=5-3+1=3, следовательно, по второму закону Кирхгофа можно составить три взаимно независимых уравнения. Таким образом, общее число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, будет равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.

Выберем положительные направления токов, которые на схеме обозначены соответствующим включением амперметров. Например, ток II течет справа налево и втекает в узел А (положительное направление тока), поскольку отрицательная клемма, отмеченная утолщенной черной линией, находится слева и ток через амперметр будет течь справа налеро. Ток 12 вытекает из узла А, поскольку ток через одноименный амперметр будет течь сверху вниз (к отрицательному зажиму, расположенному на нижней грани иконки) и т.д.

Составим систему уравнений Кирхгофа:

для узла А 11-12+13-15=0;

для узла В -11-13-14=0;

для контура ABFA E1+E2=I1-R1-I3-R3;

для контура АВСА E3=-I3-R3+I4-R4+I5-R5;

для контура ADCA E2=I2-R2+I5-R5.

После подстановки в полученные уравнения числовых значений они приобретают следующий вид:

5-12+15-15=70. Решая полученную систему уравнений, будем иметь: 11=5 А; 12=8 А; 13=1 А;

14=- 6 А; 15=2 А, что соответствует показаниям приборов. Отрицательный знак для тока 14 означает, что истинное направление этого тока противоположно принятому.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте первый и второй законы Кирхгофа. Чем отличается второй закон Кирхгофа от закона Ома для полной цепи?

2. Проведите расчеты по определению токов в ветвях с использованием законов Кирхгофа для цепей на рис. 5.5. После подключения к схемам необходимых измерительных приборов проведите их моделирование. Сравните полученные данные с результатами расчетов.

t.bratsk.su

1.2. Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма всех токов, втекающих в любой узел, равна нулю. Токи, втекающие в узел, условно принимаются положительными, а вытекающие из него — отрицательными (или наоборот). Если, например, в узел втекает ток II, а вытекают токи 12 и 13, то первый закон Кирхгофа может быть записан в виде выражения: 11-12-13=0.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений на всех участках контура.

При применении второго закона Кирхгофа необходимо учитывать знаки ЭДС и выбранное направление токов на всех участках контура. Направление обхода контура выбирается произвольным; при записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода независимо от направления протекающего через них тока, принимаются положительными, а ЭДС обратного направления принимаются отрицательными. При записи правой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения на тех участках, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода независимо от направления ЭДС на этих участках, и со знаком минус — на участках, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода.

Общая методика применения законов Кирхгофа для расчета сложных многоконтурных цепей такова. Устанавливается число неизвестных токов, которое равно числу ветвей р. Для каждой ветви задается положительное направление тока. Число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов q (точек соединения не менее чем трех проводников) минус единица, т.е.д-1. Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно числу контуров n=p-q+\. Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов р. Решение этой системы уравнений и дает значения искомых токов.

Для иллюстрации изложенной методики рассмотрим многоконтурную цепь постоянного тока на рис. 5.4. В этой цепи всего три узла: А, В и С (q =3), следовательно, число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, будет на единицу меньше, т.е. два. При числе ветвей цепи р=5 число контуров п=5-3+1=3, следовательно, по второму закону Кирхгофа можно составить три взаимно независимых уравнения. Таким образом, общее число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, будет равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.

Выберем положительные направления токов, которые на схеме обозначены соответствующим включением амперметров. Например, ток II течет справа налево и втекает в узел А (положительное направление тока), поскольку отрицательная клемма, отмеченная утолщенной черной линией, находится слева и ток через амперметр будет течь справа налеро. Ток 12 вытекает из узла А, поскольку ток через одноименный амперметр будет течь сверху вниз (к отрицательному зажиму, расположенному на нижней грани иконки) и т.д.

Составим систему уравнений Кирхгофа:

для узла А 11-12+13-15=0;

для узла В -11-13-14=0;

для контура ABFA E1+E2=I1-R1-I3-R3;

для контура АВСА E3=-I3-R3+I4-R4+I5-R5;

для контура ADCA E2=I2-R2+I5-R5.

После подстановки в полученные уравнения числовых значений они приобретают следующий вид:

5-12+15-15=70. Решая полученную систему уравнений, будем иметь: 11=5 А; 12=8 А; 13=1 А;

14=- 6 А; 15=2 А, что соответствует показаниям приборов. Отрицательный знак для тока 14 означает, что истинное направление этого тока противоположно принятому.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте первый и второй законы Кирхгофа. Чем отличается второй закон Кирхгофа от закона Ома для полной цепи?

2. Проведите расчеты по определению токов в ветвях с использованием законов Кирхгофа для цепей на рис. 5.5. После подключения к схемам необходимых измерительных приборов проведите их моделирование. Сравните полученные данные с результатами расчетов.

riostat.ru

Законы Кирхгофа

Решение задач на расчет сложных цепей основывается на применении первого и второго законов Кирхгофа, которые наряду с законом Ома являются основными законами электрической цепи.

Законы Кирхгофа определяют распределение токов и напряжений в электрических цепях любой конфигурации.

Первый закон Кирхгофа

Рассматривая разветвленные электрические цепи, состоящие из нескольких контуров, нам необходимо установить соотношения между токами, приходящими к любому узлу, и токами, уходящими от него. Из физической сущности электрического тока следует, что общее количество носителей тока, притекающее к узлу в течении некоторого промежутка времени, равно количеству носителей, утекающему от узла за тоже время. Если предположить, что это положение не выполняется, то в узловой точке должно происходить накопление зарядов или убыль — утечка зарядов.

На практике эти явления не наблюдаются, следовательно, мы можем утверждать, что сумма величин токов, притекающих к точке разветвления, равна сумме величин токов, утекающих от нее.

Это положение и является формулировкой первого закона Кирхгофа.

Математическое выражение первого закона Кирхгофа применительно к узлу А:

Условимся токи, притекающие к точке разветвления, считать положительными, а токи, утекающие от нее, — отрицательными и сформулируем окончательно первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма величин токов в точке разветвления равна нулю.

На рисунке изображена узловая точка и указаны направления и величины в пяти ветвях.

Требуется определить величину и направление тока в шестой ветви.

Предположим, что ток в шестой ветви притекает к точке А. Используя первый закон Кирхгофа, составим уравнение ∑I=0

Второй закон Кирхгофа

Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей

Используя первый закон Кирхгофа, можно составить (k-1) уравнений, связывающих между собой величины токов в ветвях. Таким образом, число уравнений на одно меньше, чем число всех узлов цепи. Это объясняется тем, что все токи, входящие в уравнение для узла k, уже вошли в предыдущие уравнения. На схеме в узле А сходятся токи I1, I2, I3; в узле В —I2, I3, I4, I5; в узле С — I4, I5, I1.

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов А и В являются независимыми. В то же время уравнение для узла С. Дает нам зависимость, которая может быть получена на основании уравнений, составленных для первых двух узлов.
В самом деле, на основании первого закона Кирхгофа получим:

Но последнее уравнение не является независимым, так как может быть получено на основании двух первых.
Действительно, складывая (1) и (2), получим

а умножив обе части равенства на -1, будем иметь

Определим теперь число уравнений, которое можно составить, используя второй закон Кирхгофа. Для того чтобы эти уравнения были независимы друг от друга, достаточно чтобы контуры, для которых они пишутся, отличались хотя бы одной ветвью, входящей в их состав.
Математически доказано, что число независимых уравнений m, которое можно составить для любой сложной цепи по второму закону Кирхгофа будет равно

m = n-k + 1 ,

где m —число независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа;
n — число ветвей;
к — число узлов.
При выборе контуров стараются по возможности подобрать такие, которые содержат меньшее число ветвей и э. д. с.
Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа для сложной цепи, состоящей из ветвей и узлов, будет равно числу ветвей.
Складывая число уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа (k—1), с числом уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа (m), получим

k — 1 + m = k— 1 + n — k + 1 = n .

Итак, если задана цепь из n ветвей и известны все э. д. с. и сопротивления, всегда можно составить n уравнений по числу неизвестных токов в ветвях.
Для решения задачи на расчет сложной цепи необходимо:

4. Для выбранных узловых точек схемы составить (k — 1) уравнений по первому закону Кирхгофа:

Суммирование токов производится обязательно с учетом знака.
5. Для выбранных замкнутых контуров составить m уравнений по второму закону Кирхгофа:

При составлении этих уравнений э. д. с. суммируются с учетом знака, а падения напряжения берутся со знаком плюс, если направление тока совпадает с направлением обхода контура, и наоборот.
6. Решить систему полученных уравнений, в результате чего определяются величины токов во всех ветвях цепи. Если при решении та или иная величина тока получается со знаком минус, то это значит, что фактическое направление тока в данной ветви обратно тому, которое было принято предварительно.
Для закрепления рассматриваемого порядка расчета сложной цепи с использованием законов Кирхгофа решим пример.

I

Пример. Дана сложная цепь, изображенная на рисунке. Зная Е1, Е2, Е3, r1 r2 и r3, необходимо определить токи в ветвях I1, I2 и I3.

Решение.
1. Анализируя данную схему, устанавливаем, что в ней число ветвей n равно трем, а число узлов k равно двум.
2. Обозначим направление токов в ветвях. Это не значит, что они будут именно такими, как мы предположили. Истинное направление токов определится в ходе решения задачи.
3. Уравнения первого закона Кирхгофа необходимо составить для
(k-1) узлов, или 2-1= 1.
Количество уравнений второго закона Кирхгофа, которое надо составить для решения задачи будет равно

m = n-(k- 1) = 3 — (2 — 1) = 3 — 1=2 .

4. Составим одно уравнение по первому закону Кирхгофа для узла А:

5. Приняв направление обхода контуров против часовой стрелки, составим m-2 уравнений для замкнутых контуров по второму закону Кирхгофа:
— для контура № 1:

6. Решаем систему из трех уравнений.
Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа (4),
имеем
I1=I2-I3

Подставим полученное значение тока в уравнение (5)

Подставим числовые значения и уравнения (5) и (6).

Упростим эти уравнения и решим их методом подстановки:

Умножим уравнение (7) на 2 и вычтем из полученного результата уравнение (8)

далее, подставляя значение I2 в уравнение (8), получим

5= -3*2,7-4I3; 4I3= -13,1 ;
I3= -13,1/4=-3,3A .

Теперь из уравнения (6) находим ток I1:

В результате решения токи I2 и I1 имеют положительное, а ток I3
отрицательное значение, следовательно, фактическое направление токов I2
и I1 совпадает с принятым, а тока I3 — обратно принятому в начале решения задачи.

stoom.ru

Тест по электротехнике «Законы Кирхгофа»

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

1.Что представляет собой ветвь электрической цепи?

2. Что представляет собой узел электрической цепи?

3. Что представляет собой контур электрической цепи?

а. участок цепи вдоль которого проходит один и тот же ток и который состоит из последовательно соединенных элементов;

б. это место соединения трех и более ветвей;

в. это любой замкнутый путь который можно обойти, перемещаясь по нескольким ее ветвям;

3.Сформулируйте 1 закон Кирхгофа.

а. в любом замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме напряжений на резисторах, входящих в этот контур;

б. в узлах цепи заряды не могут возникать;

в. в любом узле электрической цепи сумма притекающих токов равна сумме утекающих токов;

г. в узлах цепи заряды не могут накапливаться;

4.Укажите формулу 1 закона Кирхгофа.

а. Σ U = 0; б. Σ R = 0; в. Σ E = 0; г. Σ I = 0

5.Какое следствие вытекает из 1 закона Кирхгофа?

а. в любом замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме напряжений на резисторах, входящих в этот контур;

б. в узлах цепи заряды не могут возникать и длительно накапливаться;

в. в любом узле электрической цепи сумма притекающих токов равна сумме утекающих токов;

г. в узлах цепи заряды не могут накапливаться;

6. Сформулируйте 2 закон Кирхгофа.

а. в любом замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме напряжений на резисторах, входящих в этот контур;

б. в узлах цепи заряды не могут возникать;

в. в любом узле электрической цепи сумма притекающих токов равна сумме утекающих токов;

г. в узлах цепи заряды не могут накапливаться;

7. Какое следствие вытекает из 2 закона Кирхгофа?

а. в любом замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме напряжений на резисторах, входящих в этот контур;

б. потенциал любой точки цепи однозначно определяется ее положением в цепи;

в. в любом узле электрической цепи сумма притекающих токов равна сумме утекающих токов;

г. в узлах цепи заряды не могут накапливаться;

8.Укажите формулу 2 закона Кирхгофа.

а . Σ U = Σ I r; б . Σ R = ρ s ⁄ ℓ; в . Σ E = 0; г . Σ I = 0.

9.Определите количество ветвей, узлов, контуров в указанной цепи:

а. ветви- 3; узел – 2; контур – 3;

r 1 r 2 б. ветви- 2; узел – 3; контур – 1;

в. ветви- 4; узел – 2; контур – 2;

Е1 r 3 Е2 г. ветви- 5; узел – 2; контур – 4;

10.Каково применение законов Кирхгофа?

а. для расчета простых цепей; б. для расчета сложных цепей; в. для расчета магнитных цепей;

infourok.ru

Законы Кирхгофа в матричной форме

Законы Кирхгофа в матричной форме

Для записи законов Кирхгофа в матричной форме необходимо составить топологические матрицы схемы.

Матрица соединений, или узловая А,- это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для У — 1 узлов. Строки (i) соответствуют узлам (их число равно У- 1), столбцы (j) — ветвям (их число равно В). Элемент матрицы aij = + 1, если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена от узла i (положительное направление тока в ветви j выбрано от узла i). Элемент матрицы aij = — 1, если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена к узлу i. Элемент матрицы аij = 0, если ветвь j не присоединена к узлу i.

Например, для схемы и графа по рис. 1.14 с У= 4 узлами и В = 6 ветвями для первых трех узлов

что соответствует первым трем уравнениям ( 1.21а).

Так как -матрица А определяет, какие ветви присоединены к каждому узлу и как направлены токи в этих ветвях, то произведение матрицы соединений на матрицу-столбец токов ветвей I дает совокупность левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, и, следовательно, равно нулю:

— это первый закон Кирхгофа в матричной форме. Для схемы и графа по рис. 1.14

и после выполнения умножения матриц получаем первые три уравнения (1.21а).

Под матрицей соединений иногда понимают матрицу А, записанную для всех узлов схемы.

Матрица сечений Q — это таблица коэффициентов, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Строки i матрицы соответствуют сечениям (их число равно У — 1), столбцы j — ветвям (их число равно В). Элемент матрицы qij = +1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения. Элемент матрицы qij = -1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения. Элемент матрицы qij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i. Для главных сечений составляется матрица главных сечений.

Например, для графа рис. 1.14, д при показанных трех главных сечениях

Дополнительно по теме

В матричной форме первый закон Кирхгофа можно записать и с матрицей сечений

После умножения матрицы Q на матрицу-столбец токов I получаются первое и третье (с обратным знаком) уравнения (1.21а) и уравнение (1.216), т. е. независимая система уравнений по первому закону Кирхгофа.

Матрица контуров В — это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для К = В — (У- 1) независимых контуров. Строки к соответствуют контурам (их число равно К), столбцы j — ветвям (их число равно В).

Элемент матрицы bkj =+1, если ветвь j входит в состав контура k и ее направление совпадает с направлением обхода контура. Элемент матрицы bkJ,= -1, если ветвь j входит в состав контура k и ее направление противоположно направлению обхода контура. Элемент матрицы bkj = 0, если ветвь j не входит в состав контура k.

Матрица В, составленная для главных контуров, приводит непосредственно к независимой системе уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для графа рис. 1.14, д с контурами, состоящими из ветвей 2-4-3 (а), 5-6-4 (б) и 1-6-3 (в) матрица главных контуров при их обходе по направлению движения часовой стрелки

Умножив матрицу В на матрицу-столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа в формулировке (1.20а)

так как каждая строка матрицы В определяет, какие ветви входят в соответствующий контур и с какими знаками должны быть записаны напряжения ветвей.

Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа по рис. 1.14, в после умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей

получим систему трех независимых уравнений вида (1.20а):

Эта система с учетом равенства и соотношений (1.22а) совпадает с ранее полученной системой (1.23), (1.246), (1.24а), т. е. с системой вида (1.206).

Для любой планарной схемы, т. е. схемы, которую можно изобразить на листе без пересекающихся ветвей и проводов, в качестве независимых контуров можно выбирать элементарные контуры-ячейки. Например, для схемы рис. 1.14, а это ячейки I, II, III. Если выбрать направление обхода каждой ячейки по направлению движения стрелки часов, то

После умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей U получим другую независимую систему уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (1.20 а):

которая после подстановки соотношений (1.22а) приводится к виду (1.206).

Если схема цепи кроме источников ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее рис. 1.20-1.22), содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений (1.27) можно рекомендовать преобразование источников тока в источники ЭДС (см. рис. 1.23) или введение понятия обобщенной ветви (см. рис. 1.25).

Смотри ещё по теме Электрические цепи постоянного тока

Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

Основные свойства электрических цепей постоянного тока

www.ess-ltd.ru

Популярное:

  • Приказ 223 минюста Приказ Министерства юстиции РФ от 5 октября 2016 г. N 223 "Об утверждении формы удостоверения адвоката и порядка его заполнения" Приказ Министерства юстиции РФ от 5 октября 2016 г. N 223"Об утверждении формы удостоверения […]
  • Роль конституционного суда в развитии федеративных отношений Роль конституционного суда Российской Федерации в развитии федеративных отношений Дербенев Евгений Анатольевич Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время Уведомить о поступлении […]
  • Субсидии на жильё в рб Шпаргалка: какие субсидии на жилье получат очередники по 240-му указу Указ № 240 уже вступил в силу с 7 августа. А это значит, что выделение в области адресных субсидий вот-вот начнется. Кого и как в мечте обрести свои […]
  • Все мировые суды архангельской области Организация Агентство мировых судей Архангельской области Адрес: Г АРХАНГЕЛЬСК,НАБ СЕВ ДВИНЫ, Д 112 Юридический адрес: 163000, Архангельская область, г Архангельск, ул Воскресенская, д 8 ОКФС: 13 - Собственность субъектов […]
  • Приказы срцн Организация ГКУ РК "СРЦН ИЖЕМСКОГО Р-НА" Адрес: РЕСПУБЛИКА КОМИ,ИЖЕМСКИЙ Р-Н,П ЩЕЛЬЯЮР,УЛ ГАГАРИНА, Д 51 Юридический адрес: 169470, КОМИ РЕСП, ИЖЕМСКИЙ Р-Н, ЩЕЛЬЯЮР П, ЗАВОДСКАЯ УЛ, ДОМ 10 ОКФС: 13 - Собственность субъектов […]
  • Приказ от 05102005 617 Приказ Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 5 октября 2005 г. N 617 "О порядке направления граждан органами исполнительной власти субъектов Российской Федерации в сфере здравоохранения к месту лечения при […]
  • Бюро судебно-медицинской экспертизы ханты-мансийск Организация КУ "БЮРО СУДЕБНО-МЕДИЦИНСКОЙ ЭКСПЕРТИЗЫ" Адрес: ТЮМЕНСКАЯ ОБЛ.,ХАНТЫ-МАНСИЙСКИЙ АВТ. ОКРУГ,Г ХАНТЫ-МАНСИЙСК,УЛ КАЛИНИНА, Д 40 БЛОК Д Юридический адрес: 628012, ХАНТЫ-МАНСИЙСКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ - ЮГРА АО, […]
  • Приказ 512н Приказ Министерства здравоохранения РФ от 31 июля 2013 г. № 512н “О признании утратившими силу некоторых приказов Министерства здравоохранения Российской Федерации” Признать утратившими силу: приказ Министерства здравоохранения […]