Закон сохранения количества движения твердого тела

Закон сохранения количества движения твердого тела

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия.

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения (20) следует, что при этом Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.

2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ) равна нулю:

Тогда из уравнений (20) следует, что при этом Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить количество движения системы не могут. Рассмотрим некоторые примеры.

Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить количество движения системы, равное до выстрела кулю. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т. е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес

Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла ракетного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними и не могут изменить количество движения системы ракета — продукты горения топлива. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения, направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость, направленную вперед. Величина этой скорости будет определена в § 114.

Обращаем внимание на то, что винтовой двигатель (предыдущий пример) сообщает объекту, например самолету, движение за счет отбрасывания назад частиц той среды, в которой он движется. В безвоздушном пространстве такое движение невозможно. Реактивный же двигатель сообщает движение за счет отброса назад масс, вырабатываемых в самом двигателе (продукты горения). Движение это в равной мере возможно и в воздухе, и в безвоздушном пространстве.

При решении задач применение теоремы позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы все (или часть) заранее неизвестных сил сделать внутренними.

Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению поступательной скорости одной части системы надо определить скорость другой части. В частности, этот закон широко используется в теории удара.

Задача 126. Пуля массой , летящая горизонтально со скоростью и, попадает в установленный на тележке ящик с песком (рис 289). С какой скоростью начнет двигаться тележка после удара, если масса тележки вместе с ящиком равна

Решение. Будем рассматривать пулю и тележку как одну систему Это позволит при решении задачи исключить силы, которые возникают при ударе пули о ящик. Сумма проекций приложенных к системе внешних сил на горизонтальную ось Ох равиа нулю. Следовательно, или где — количество движения системы до удара; — после удара.

Так как до удара тележка неподвижна, то .

После удара тележка и пуля движутся с общей скоростью, которую обозначим через v. Тогда .

Приравнивая правые части выражений , найдем

Задача 127. Определить скорость свободного отката орудия, если вес откатывающихся частей равен Р, вес снаряда , а скорость снаряда по отношению к каналу ствола равна в момент вылета .

Решение. Для исключения неизвестных сил давления пороховых газов рассмотрим снаряд и откатывающиеся части как одну систему.

Пренебрегая за время движения снаряда в канале ствола сопротивлением откату и силами , которые очень малы по сравнению с силами давления пороховых газов, вызывающих откат, найдем, что сумма приложенных к системе внешних сил равна нулю (рис. 290; откатывающиеся вместе со стволом части на нем не показаны). Тогда , а так как до выстрела система неподвижна то и в любой момент времени

Обозначим скорость откатывающихся частей в конечный момент через v. Тогда абсолютная скорость снаряда в этот момент равна Следовательно,

Если бы была известна абсолютная скорость вылета снаряда то в равенство (а) вместо вошла бы сразу величина откуда

Знак минус в обоих случаях указывает, что направление v противоположно и.

Подчеркиваем, что при вычислении полного количества движения системы иадо учитывать абсолютные скорости движения ее частей.

stu.sernam.ru

Закон сохранения количества движения

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему равна нулю:

.

Тогда из уравнения (8.14) следует, что:

, т.е.: ,

а это означает, что , т.е..

Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянный по величине и направлению.

В случае, если внешние силы, действующие на систему таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ОХ) равна нулю:

.

То тогда проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная:

.

Эти результаты выражают закон сохранения количества движения системы. Отсюда следует, что внутренние силы системы не могут изменить вектор количества движения системы.

При решении задач с помощью закона сохранения главного вектора количеств движения, следует придерживаться следующей последовательности:

изобразить на рисунке все внешние силы;

выбрать систему координат;

записать теорему об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек в проекциях на оси координат;

если сумма проекций импульсов внешних сил на ось оказывается равной нулю, например, , то следует приравнять между собой проекции на эту ось главного вектора количеств движения системы в начальный и конечный моменты времени, т.е., гдеи, и из полученного уравнения определить искомую величину.

Задача 8.2 (36.3)

Определить главный вектор количеств движения маятника, состоящего из однородного стержня ОА весом Р1 длиной 4r и однородного диска В весом Р2 радиуса r, если угловая скорость маятника в данный момент равна ω.

В данной задаче система состоит из двух тел: стержня, длиной 4r и однородного диска радиусом r. Центр масс стержня находится в геометрическом центре (точка С), причем ОС=СА, центр масс диска находится в его геометрическом центре (точка В), так как тела однородные. Тогда для стержня вектор количества движения можно вычислить:

Так как , тогда модуль вектора количеств движения стержня будет:

.

Вектор направлен перпендикулярно стержнюОА. Для диска вектор количеств движения равен:

.

Скорость в точке В можно определить:

.

Тогда модуль будет равен:

.

Модуль вектора количеств движения системы определится следующим образом:

, тогда

Ответ: , вектор количеств движения направлен перпендикулярно стержнюОА.

Вопросы для самоконтроля:

Что такое количество движения материальной точки и механической системы?

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме?

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 28.1. – 28.3., 36.1 – 36.12. [3].

Литература: [1] – [5].

Теорема об изменении момента количества движения точки

Моментом вектора относительно данного центра О или осиZ обозначается соответственно иназывается моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно центра или оси.

Вычисляется момент вектора так же как и момент силы.

– для момента вектора относительно центра:

.

– для момента вектора относительно оси:

,

где – кратчайшее расстояние между точкой приложения вектораи осью или центром;

studfiles.net

Момент количества движения и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы выступает ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом количества движения тела? Ею является момент количества движения тела относительно оси.

Моментом количества движения Li отдельной частицы тела массой m, называется произведение расстояния r, от оси вращения до частицы на количество движения mivi) этой частицы:

. (19.1)

Момент количества движения твердого тела относительно оси есть сумма моментов количества движения отдельных частиц

Так как для вращательного движения , то

(19.2)

Таким образом, момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Момент количества движения твердого тела — это вектор, направленный по оси вращения так, чтобы видеть с его конца вращение, происходящим по часовой стрелке (рис. 27).

Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

или в векторной форме (19.3)

Уравнение (19.3) — еще одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента количества движения твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси.

Если мы имеем дело с замкнутой системой, то момент внешних сил М = 0 и, или, т. е.

. (19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента количества движения: момент количества движения замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента количества движения — фундаментальный закон природы. Он связан с определенным свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. С инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать сохранение момента количества движения можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, стоящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в поднятых на уровни плеч руках гири (рис. 28), приведен во вращение с угловой скоростью w1. Человек обладает некоторым моментом количества движения, который сохраняется. Если он опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результате чего возрастет угловая скорость w2 его вращения. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение, подчеркнув их аналогию (табл. 2).

poznayka.org

Московский государственный университет печати

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 «Полиграфические машины и автоматизированные комплексы»

Законы трения скольжения

Назовем количеством движения системы векторную величину » />, равную главному вектору количеств движения всех точек системы ( рис. 76 )

» />

Вектор » /> может принимать любой значение и по его величине через форму (17.1.1) трудно правильно судить о поведении системы. Поэтому представим его в иной форме:

Следуя уравнению (15.2.1) запишем

» />

Продифференцировав по времени, найдем

» />

и подставляя в (17.1.1), получим

» />

Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Количество движения равно нулю только в том случае, когда скорость центра масс равна нулю, даже если тело вращается вокруг оси, проходящей через центр масс.

Количество движения характеризует только поступательную часть движения системы вместе с центром масс.

Пусть дана система из n точек с массами » />. Составляя для каждой точки уравнения движения и складывая их, получим уравнение (16.2.1)

» />

Мы получили теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Теорему можно записать в конечном варианте. Проинтегрировав (17.1.3), получим:

» />

Изменение количества движения системы за время » /> равно геометрической сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Данная теорема связана с теоремой о движении центра масс 16.2.

Подставляем равенство (17.1.2) в уравнение (17.1.3), и, учитывая, что » />, получаем уравнение (16.2.4)

» />

Связь двух теорем говорит о том, что они являются вариациями одной теоремы прилагаемой к системе в различных случаях.

Рассмотрим следствия теоремы об изменении количества движения системы:

1 . Пусть сумма внешних сил, которые действуют на систему, равна нулю

» />

Тогда из уравнения (17.1.3) получаем

» />

Если сумма всех действующих на систему внешних сил равна нулю, то вектор количества движения системы постоянен как по величине так и по направлению.

2. Уравнение (17.1.3) в проекциях на оси координат запишется:

» />

Пусть внешние силы таковы, что одна из проекции (17.2.3) сил равна нулю:

» />

Если сумма проекций внешних сил на одну из осей равна нулю, то проекция количества движения на эту ось постоянна.

Эти два следствия представляют собой закон сохранения количества движения.

Этот закон объясняет такие явления как отдача ли откат при стрельбе, работу винта, реактивное движение, где внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.

Модуль вектора количества движения механической системы изменяется по закону » />. Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на систему, в момент времени t = 2 с, если вектор количества движения и главный вектор внешних сил параллельны. (16)

По горизонтальному участку пути движутся два вагона, массы которых » />. Второй вагон догоняет первый и сцепляется с ним. Пренебрегая сопротивлением движению, определить скорость вагонов после сцепления . (1,5)

Тело 1 массой 2 кг под действием пружины движется относительно тела 2 массой 8 кг по закону » />. Тело 2 может скользить по горизонтальным направляющим. Определить скорость тела 2 в момент времени t = 2 с, если оно начало двигаться из состояния покоя . (0)

© Центр дистанционного образования МГУП

www.hi-edu.ru

момент количества движения

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (кинетический момент, момент импульса, орбитальный момент, угловой момент) — одна из динамич. характеристик движения материальной точки или механич. системы; играет особенно важную роль при изучении вращат. движения. Как и для момента силы, различают M. к. д. относительно центра (точки) и относительно оси.

M. к. д. материальной точки относительно центра О равен векторному произведению радиуса-вектора r точки, проведённого из центра О, на её кол-во движения mv, т. е. k0 = [rmu] или в др. обозначениях k0 = r mu. M. к. д. kz материальной точки относительно оси z, проходящей через центр О, равен проекции вектора k0 на эту ось. Для вычисления M. к. д. точки справедливы все ф-лы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F (или его проекции) вектором mu (или его проекциями). Изменение M. к. д. точки происходит под действием момента m0(F) приложенной силы. Характер этого изменения определяется ур-нием dk/dt = m0(F), являющимся следствием осн. закона динамики. Когда m0(F) = 0, что, напр., имеет место для центр. сил, M. к. д. точки относительно центра О остаётся величиной постоянной; точка движется при этом по плоской кривой и её радиус-вектор в любые равные промежутки времени описывает равные площади. Этот результат важен для небесной механики (см. Кеплера законы ),а также для теории движения космич. летат. аппаратов, ИСЗ и др.

Для механич. системы вводится понятие о главном M. к. д. (или кинетич. моменте) системы относительно центра О, равном геом. сумме M. к. д. всех точек сис-темы относительно того же центра:

Вектор K0 может быть определён его проекциями на взаимно перпендикулярные оси Oxyz. Величины Kx, Ky, Кz, являются одновременно главным M. к. д. системы относительно соответствующих осей. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угл. скоростью w, эти величины равны: Kx= -Ixzw, Ку = = -Iyzw, Kz = Izw, где Iz — осевой, a Ixz и Iyz — центробежные моменты инерции. Если же тело движется около неподвижной точки О, то для него в проекциях на главные оси инерции, проведённые в точке О, будет Kx =- Ixwx, Ку = 1уwу, Kz = Izwz, где Ix, 1у, Iz — моменты инерции относительно гл. осей; wx, wy, wz — проекция мгновенной угл. скорости w на эти оси. Из ф-л видно, что направление вектора K0 совпадает с направлением w лишь тогда, когда тело вращается вокруг одной из своих гл. (для точки О)осей инерции. В этом случае K0 = Iw, где I — момент инерции тела относительно этой гл. оси.

Изменение главного M. к. д. системы происходит только в результате внеш. воздействий и зависит от гл. момента M e 0 внеш. сил; эта зависимость определяется ур-нием dK0/dt = M e 0 (ур-ние моментов). В отличие от случая движения одной точки, ур-ние моментов для системы не является следствием ур-ния кол-в движения, и оба эти ур-ния могут применяться для изучения движения системы одновременно. С помощью одного только ур-ния моментов движение системы (тела) может быть полностью определено лишь в случае чисто вращат. движения (вокруг неподвижной оси или точки). Если гл. момент внеш. сил относительно к—н. центра или оси равен нулю, то главный M. к. д. системы относительно этого центра или оси остаётся величиной постоянной, т. е. имеет место закон сохранения M. к. д. (см. Сохранения законы ).Понятие о главном M. к. д. широко используется в динамике твёрдого тела, особенно в теории гироскопа.

M. к. д., так же как и кол-вом движения, обладают все формы материи, в т. ч. эл—магн., гравитац. и др. поля (см. Поля физические, Спин). с. M. Тарг.

femto.com.ua

Популярное:

  • Мать одиночка в белоруссии Быть матерью-одиночкой в Беларуси выгодно? К ежемесячному пособию по уходу за ребенком женщинам, одним воспитывающим ребенка, доплачивается надбавка в размере. 30 октября в Минске обсуждали, как сделать отцов социально активными […]
  • Нотариус на загородном 4 Нотариус Гаврилова Ольга Юрьевна опыт ведения наследственных дел - 20 лет г. Санкт-Петербург, ул. Маяковского, д.3. работаем с 10.00-18.00, обед с 13-14. Возможно обслуживание в субботу или воскресенье по предварительной […]
  • НачфинРу пенсия НачФин.info " rel="nofollow"> Печать E-mail Подробности Категория: Интересные статьи Опубликовано: 20 апреля 2017 Автор: Марина Байдак Просмотров: 13936 Всем известная реформа денежного довольствия 2012 года, когда […]
  • Уход на пенсию в мвд по выслуге лет Пенсия МВД Некоторые профессии сопряжены с особыми условиями и требуют от человека принять в связи с работой ряд ограничений: пенсия МВД как вид специального государственного обеспечения назначается лицам, состоявшим на службе в […]
  • Налог на доходы физических лиц с вклада Налог с вкладов физических лиц Новости по теме Каждую неделю мы обновляем базы данных, сравниваем и анализируем предложения российских банков, чтобы предоставить пользователям портала Выберу.Ру самые выгодные предложения. В этом […]
  • Закон курение рф Закон о запрете курения в общественных местах в России в 2018 году Курение в России – настоящий бич современности, самое ужасное, что с каждым годом к курению все больше приобщаются подростки и женщины. Последние не бросают […]
  • Как оформить электронный ресурс в литературе Как оформлять список литературы дипломной работы МЫ МОЖЕМ ПОМОЧЬ НАША ЗАДАЧА - ПОМОГАТЬ: ВЫПОЛНЯЕМ ВСЕ ВИДЫ РАБОТ Работы МЫ пишем через Биржу PISHEM24.RU Оформив заказ, Вы бесплатно узнаете за какую цену и в какой срок мы […]
  • Правило наложения перевязок Основы безопасности жизнедеятельности7 класс Урок 26Правила наложения повязокПовязки. Общая характеристика Повязками называют специальные средства, предназначенные для закрепления перевязочного материала или компресса […]