Закон сохранения углового момента

Сохранение углового импульса

Если на объект не влияет внешний вращательный момент, то изменение в угловом импульсе не происходит.

Задача обучения

  • Рассмотреть влияние чистого вращательного момента на сохранение энергии.

Основные пункты

  • Если объект совершает обороты в замкнутой системе и не испытывает влияния внешнего вращающего момента, то перемены в угловом импульсе не происходят.
  • Сохранением углового импульса можно объяснить угловое ускорение фигуристки, когда ее руки и ноги приближены к вертикальной оси вращения.
  • Если чистый вращающий момент приравнивается к нулю, то угловой импульс выступает постоянным или сберегается.
  • Угловой импульс – векторная величина, характеризующая объект в круговом движении. Величина приравнивается к импульсу частички, а направление выступает перпендикулярным плоскости.
  • Вращающий момент – вращательный эффект силы, измеряемый в ньютонах на метр.
  • Квантовая механика – раздел физики, исследующий вещество и энергию на уровне атомов и прочих элементарных частичек.

Существует множество примеров с импульсом. Достаточно вспомнить хотя бы родную Землю, продолжающую вращаться с одинаковой скоростью миллиарды лет. Именно здесь мы можем проследить признаки закона сохранения:

  • Используется замкнутая система. Нет никакой активной силы, заставляющей планету вращаться. Она изолирована и замкнута в себе.
  • Что-то остается стабильным. Есть численная величина для измерения вращательного движения и общее ее количество остается постоянным.
  • Что-то можно поместить туда и забрать, и это не внесет изменений в общую сумму.

Угловой импульс

Символом выступает L. Как и линейный импульс, она сохраняется, если нет виляния чистых внешних сил или чистый вращательный момент приравнивается к нулю. Это можно увидеть на примере второго закона Ньютона для вращательного движения:

Если изменение углового импульса ΔL = нулю, то он постоянный. Выходит:

L = постоянная (при net τ = 0).

Это выражение для закона сохранения углового импульса.

Пример и последствия

Это можно заметить у фигуристов, выполняющих вращение. Чистый вращающий момент приближается к нулю, поэтому между коньками и льдом возникает мало трения, и оно проявляется очень близко к точке поворота.

Фигуристка вращается на носочке конька, вытянув руки. Ее угловой импульс сохраняется, потому что чистый вращающий момент слишком крошечный. На другом рисунке скорость вращения возрастает, уменьшая момент инерции. Выполняемая работа приводит к росту вращательной кинетической энергии

То есть, фигуристка способна еще долгое время совершать обороты. Также она способна разогнаться, если вытянет руки и ноги. При этом уменьшается вращательная инерция, а скорость вращения растет. Это и способствует поддержанию постоянного углового импульса L = Iω (I – вращательная инерция, ω – угловая скорость).

Сохранение углового импульса выступает основным моментом в физических законах сохранения, вместе с энергией и линейным импульсом. Они действуют даже в микроскопических масштабах, где регулируется квантовая механика.

v-kosmose.com

Создавая картину Вселенной

История научных теорий об устройстве нашего мира

Угловой момент

Закон сохранения импульса гласит, что скорость центра масс изолированной системы постоянна по величине и направлению. Аналогично закон сохранения углового момента, который мы далее выведем, утверждает, что угловой момент изолированной системы не меняется по величине и по направлению.

Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса системы взаимодействующих частиц равна силе, действующей на систему извне. Аналогично скорость изменения полного момента системы взаимодействующих частиц равна моменту силы, обусловленному внешним воздействием.

Импульс системы частиц пропорционален скорости центра масс системы, причем коэффициент пропорциональности равен массе системы. Аналогично угловой момент твердого тела, вращающегося вокруг оси симметрии, пропорционален угловой скорости вращения, и коэффициент пропорциональности равен моменту инерции тела относительно этой оси. Масса — мера инертности тела по отношению к линейному ускорению; момент инерции (относительно данной оси) — мера инертности по отношению к изменению углового момента (относительно той же оси).

Архимедов закон равновесия неравноплечных весов, сформулированный Ньютоном в строгом математическом виде, естественным образом приводит к понятиям момента силы и углового момента. Хотя сам Ньютон и не использовал эти понятия в явном виде, он отчетливо понимал, что полученное еще Архимедом условие равновесия означает, что гантель, образованная двумя грузами, соединенными невесомым стержнем, не будет вращаться относительно точки опоры. Ньютон представил, что эта точка опоры является центром колеса, на горизонтальных спицах которого подвешены грузы. Он доказал, что если соотношение Архимеда выполняется, то силы, действующие на колесо со стороны грузов, эквивалентны равным по величине тангенциальным силам, приложенным к ободу колеса и стремящимся вращать его в противоположных направлениях.

Из закона сохранения углового момента следует, что если момент силы, приложенной к Земле, равен нулю, то ее ось вращения должна быть все время направлена в одну сторону и продолжительность звездных суток будет постоянной. Это заключение не столь очевидно, как может показаться на первый взгляд. Вектор угловой скорости твердого тела, которое вращается вокруг оси, не являющейся его осью симметрии, не сохраняет своего направления: он прецессирует вокруг неизменно направленного вектора углового момента (который в этом случае не совпадает с осью). Оси симметрии вращающихся планет и звезд совпадают с их осями симметрии, поскольку отклонение от сферической формы у них обусловлено центробежной силой, которая симметрична относительно оси вращения. Внешнее гравитационное поле, действуя на сферически-симметричное тело, не создает момента силы. Даже в случае взаимодействия несферического тела с точечной массой последняя не создает вращающего момента, приложенного к телу, если только распределение массы внутри тела симметрично относительно линии, соединяющей точечную массу с центром масс тела.

Теперь мы можем объяснить, почему происходит прецессия равноденствия и попятное движение линии узлов лунной орбиты. Если бы плоскости земного экватора, лунной орбиты и орбиты Земли совпадали, то момент сил, действующих на сфероидальную Землю со стороны как Луны, так и Солнца, был бы равен нулю. Но так как плоскость земного экватора наклонена к плоскостям орбит Луны и Земли, момент силы, обусловленный тяготением Луны и Солнца, оказывается отличным от нуля. Вскоре мы убедимся, что сила (усредненная за лунный месяц), действующая на Землю со стороны Луны, стремится повернуть ось вращения Земли (и вектор ее углового момента) к вертикали, т. е. в направлении, перпендикулярном плоскости орбиты Луны. Однако, угловой момент изменяется в направлении момента силы, который перпендикулярен как самому угловому моменту, так и вертикальной оси. Следовательно, под действием тяготения Луны конец вектора углового момента описывает окружность вокруг вертикальной оси. При этом сам вектор описывает конус. Таким образом, усредненный за месяц момент сил, обусловленный воздействием Луны, не вызывает изменения ни величины углового момента, ни его наклона к вертикали.

Аналогичные рассуждения применимы и к моменту сил, обусловленному гравитационным воздействием Солнца, усредненным за год. Поскольку направления нормалей к плоскостям орбит Земли и Луны почти совпадают, усредненные векторы моментов сил, обусловленных воздействием Луны и Солнца, почти параллельны. Отношение величин этих векторов примерно равно отношению приливных ускорений, вызванных Луной и Солнцем и ответственных за возникновение момента сил.

Проведенный качественный анализ позволяет объяснить прецессию оси вращения Земли как результат действия на Землю моментов приливных сил, обусловленных влиянием Луны и Солнца. Однако объяснение нельзя считать исчерпывающим, пока мы не убедимся, что наблюдаемая величина периода прецессии (равная 26 тыс. лет) хорошо согласуется с результатами расчетов, сделанных на основе нашей теории. В свое время именно количественные оценки стали камнем преткновения, о который разбились многие остроумные и казавшиеся весьма правдоподобными гипотезы.

Пренебрегая локальными неровностями типа гор и долин, можно считать Землю сфероидом, полярный диаметр которого примерно на 1 /зоо меньше, чем экваториальный. Для оценки величины момента сил можно представить Землю в виде сферы (для которой момент внешних сил равен нулю), окруженной тонким экваториальным выступом, состоящим из вещества, «изъятого» с полюсов. Рассчитать момент сил, действующих на кольцо экваториального выступа со стороны Луны и Солнца, не составляет особого труда. Однако выясняется, что вычисленное значение момента сил дает скорость прецессии, в три раза меньшую, чем следует из наблюдений. Полярные шапки «отрицательной массы» дают вклад в момент внешних сил в два раза больший, чем экваториальный выступ.

Применимость данного метода расчета можно продемонстрировать и другим путем. Вектор углового момента, связанного с движением Луны по орбите, прецессирует в направлении, обратном направлению прецессии перпендикуляра к плоскости земной орбиты. Поскольку период прецессии вектора лунного углового момента (18,6 лет) много больше, чем орбитальный период Луны (27,3 суток), этот эффект прецессии можно описать, предположив, что масса Луны распределена в виде тонкого кольца вдоль лунной орбиты. Расчетная величина периода прецессии (равна 17,8 лет) оказалась достаточно близкой к наблюдаемому, если, конечно, учесть приближенность оценки.

spacemystery.ru

Момент импулься и закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел, которая остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

Момент импулься и закон сохранения момента импульса

акон сохранения момента импульса является следствием закона сохранения углового момента, который, в свою очередь, является следствием закона сохранения энергии системы. Поэтому неверно, когда закон сохранения момента импульса считают основным законом сохранения наравне с законом сохранения энергии. Следствие не может быть поставлено наравне с причиной, его вызывающей.

1. Вывод закона сохранения углового момента составной системы
с применением теоремы Штайнера.

Рассмотрим простейший вариант, показанный на рисунке, когда система состоит из двух тел с массами m1 и m2 , причем m2 2 , ( 1 )

где Jzsi – собственный момент инерции i–го тела относительно своей оси вращения, параллельной оси Оz; mi– масса i–го тела; ri – расстояние от общей оси вращения до собственной оси вращения i–го тела.

Если векторы угловых скоростей ω1 и ω2 не параллельны друг другу и вектору угловой скорости всей системы ω, то каждый из векторов ω1 и ω2 следует разложить на два вектора: параллельный и перпендикулярный вектору ω. Теорема Штайнера учитывает только компоненты векторов ω1 и ω2 , параллельные вектору ω.

В статье, посвященной угловому моменту вращающейся системы, приведено определяющее уравнение для закона сохранения углового момента твердого тела в виде Lz = Jzω = const. Подставив сюда выражение для момента инерции i–го тела Jzi из уравнения (1), мы приходим к закону сохранения углового момента системы из двух тел, изображенной на рисунке:

Естественно, что аналогичное уравнение может быть получено для системы, состоящей из скольких угодно составных частей.

2. Как мы приходим к понятию «момент импульса» системы.

Предположим, что собственные моменты инерции тел (Jzs)i пренебрежимо малы по сравнению со вторыми слагаемыми в теореме Штайнера, то есть предположим, что собственными угловыми моментами тел, составляющих систему, можно пренебречь. Тогда закон сохранения углового момента системы (2) можно будет переписать в виде

Lz = m1 r1 2 ω + m2 r2 2 ω = const . ( 3 )

Угловая скорость системы из нескольких тел может быть определена по любой из составных частей системы по уравнению

ω = [eri (vτi /r )] , ( 4 )

где vτi − касательная скорость центра вращения i-го тела относительно общего центра вращения Оcn; eri − орт i-го радиуса, проведенный из точки Оcn . Закон сохранения углового момента системы в виде (3) после введения в него угловой скорости по уравнению (4) запишется в виде:

Введем скалярные величины m и r в квадратные скобки. Учитывая, что rer = r, и умножив скаляр m на вектор v, мы приходим к уравнению

Векторную величину (mv), присутствующую в уравнении (6), называют в физике импульсом и обозначают символом p. А величину [r p] = [r (mv)] называют в физике моментом импульса. Ее тоже обозначают символом Lz , то есть тем же символом, который применяют для обозначения углового момента. Но при этом не учитывают, что к уравнению (6) мы пришли при пренебрежении собственными моментами инерции тел. Подобное умолчание и является причиной того, что между угловым моментом и моментом импульса часто, но не обосновано, ставят знак равенства.

Размерность момента импульса совпадает с размерностью углового момента, так как закон сохранения момента импульса (6) вытекает из закона сохранения углового момента (2). В СИ размерность момента импульса равна L 2 МT −1 , а единица равна кг м 2 с -1 . Та же размерность в системе величин ЭСВП выглядит как EА −1 T, а единица равна Дж об -1 с. Подробнее об этих размерностях и единицах рассказано в статье, посвященной угловому моменту.

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 352 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

helpiks.org

Закон сохранения момента импульса

В замкнутой системе выполняется закон сохранения момента импульса.

Вращающееся вокруг своей оси тело при отсутствии тормозящих вращение сил так и будет продолжать вращаться. Физики привычно объясняют этот феномен тем, что такое вращающееся тело обладает неким количеством движения, выражающимся в форме углового момента количества движения или, кратко, момента импульса или момента вращения. Момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален скорости вращения тела, его массе и линейной протяженности. Чем выше любая из этих величин, тем выше момент импульса. Если теперь допустить, что тело вращается не вокруг собственного центра массы, а вокруг некоего центра вращения, удаленного от него, оно всё равно будет обладать вращательным моментом импульса. В математическом представлении момент импульса L тела, вращающегося с угловой скоростью ω, равен L = Iω, где величина I, называемая моментом инерции, является аналогом инерционной массы в законе сохранения линейного импульса, и зависит она как от массы тела, так и от его конфигурации — то есть, от распределения массы внутри тела. В целом, чем дальше от оси вращения удалена основная масса тела, тем выше момент инерции.

Сохраняющейся или консервативной принято называть величину, которая не изменяется в результате рассматриваемого взаимодействия. В рамках закона сохранения момента импульса консервативной величиной как раз и является угловой момент вращения массы — он не изменяется в отсутствие приложенного момента силы или крутящего момента — проекции вектора силы на плоскость вращения, перпендикулярно радиусу вращения, помноженной на рычаг (расстояние до оси вращения). Самый расхожий пример закона сохранения момента импульса — фигуристка, выполняющая фигуру вращения с ускорением. Спортсменка входит во вращение достаточно медленно, широко раскинув руки и ноги, а затем, по мере того, как она собирает массу своего тела всё ближе к оси вращения, прижимая конечности всё ближе к туловищу, скорость вращения многократно возрастает вследствие уменьшения момента инерции при сохранении момента вращения. Тут мы и убеждаемся наглядно, что чем меньше момент инерции I, тем выше угловая скорость ω и, как следствие, короче период вращения, обратно пропорциональный ей.

Следует отметить, однако, что не любая приложенная извне сила сказывается на моменте вращения. Предположим, вы поставили свой велосипед «на попа» (колесами вверх) и сильно раскрутили одно из его колес. Понятно, что, приложив тормозящую силу трения к любой окружности колеса (нажав на ручной тормоз, приложив руку к резине или вращающимся спицам), вы, тем самым, снизите угловую скорость его вращения. Однако, сколько бы вы ни старались, вы не остановите вращения колеса, пытаясь воздействовать на ось вращения. Иными словами, для изменения момента вращения необходима не просто сила, а момент силы — то есть, сила, приложенная по направлению, отличному от направления оси вращения, и на некотором удалении от нее. Поэтому закон сохранения момента вращения можно сформулировать и несколько иначе: момент вращения тела изменяется только в присутствии момента силы, направленной на его изменение.

И тут возникает важное дополнительное замечание. До сих пор мы говорили об изменении момента вращения в плане ускорения или замедления вращения, как такового, но при этом тело продолжало вращаться всё в той же плоскости, и ось вращения не изменяла своей ориентации в пространстве. Теперь предположим, что момент силы приложен в плоскости, которая отличается от плоскости, в которой вращается тело. Такое воздействие неизбежно приведет к изменению направления оси вращения. В отсутствие же внешних воздействий закон сохранения момента импульса подразумевает, что направление оси вращения остается неизменным. Этот принцип широко используется в так называемых гироскопических навигационных приборах. В их основе лежит массивное, быстро вращающееся колесо — гироскоп, — которое не изменяет своей ориентации в пространстве, благодаря чему прибор стабильно указывает заданное направление, вне зависимости от угла поворота субмарины, самолета или спутника, на котором он установлен. С технической точки зрения гироскоп представляет собой массивный диск на осевых подшипниках низкого трения, раскрученный с очень большой скоростью. Идеальный гироскоп — это диск бесконечной массы, вращающийся с бесконечной скоростью в идеальном вакууме. В таком случае закон сохранения момента импульса подскажет нам, что направление оси такого идеального гироскопа не отклонится от исходной ни на одну угловую секунду, и он вечно будет указывать нам на изначально заданную точку. Искусственные спутники Земли, как правило, оснащаются несколькими независимыми гироскопами, вращающимися в разных плоскостях, и бортовая электроника, сопоставляя данные нескольких гироскопических компасов и усредняя поправки на возможные отклонения их показаний, безошибочно определяет координаты и ориентацию спутника в околоземном пространстве.

elementy.ru

Закон сохранения углового момента

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Используя связь момента силы и момента импульса для системы м.т. относительно неподвижной оси (например, оси Z ), имеем . Если ось симметрии совпадает с осью вращения, то .

В случае замкнутой системы (внешние силы не действуют, а внутренние силы попарно компенсируют друг друга) последнее выражение приобретает простой вид:

Формула (5.23) выражает закон сохранения вектора момента импульса.

В замкнутой (изолированной) системе тел (м.т.) суммарный вектор момента импульса остается неизменным.

Начальное состояние системы скамья Жуковского+колесо — неподвижное. По закону сохранения момента импульса для этих тел . При неизменном моменте инерции системы возникновение и рост угловой скорости колеса приводит к появлению и росту противоположного момента импульса у скамьи с мальчиком.

В видеодемонстрации «Опыте 2 с колесом» изменение направления вращения колеса на противоположное приводит также к изменению момента импульса скамьм Жуковского также на противоположное. Учитывая связь момента импульса с моментом инерции, имеем

или .

Закон справедлив не только для вектора момента импульса относительно оси, но и относительно полюса.

Закон сохранения вектора момента импульса является фундаментальным .

Замечание 1: момент силы не зависит от того, вращается тело или нет вокруг оси, т.к. в состоянии покоя он уравновешен моментом других сил, действующих на это тело. Если момент сил равен нулю, то тело вращается с постоянной угловой скоростью, т.е. . Если момент инерции тела не равен нулю (I≠ 0), тогда равна нулю производная угловой скорости по времени: d w /dt = 0 . Отсюда следует, что угловая скорость есть величина постоянная w = сonst . Если момент инерции тела может изменяться вследствие изменения взаимного расположения отдельных его частей, то при М = 0, I =сonst. Это значит, что изменение момента инерции тела влечет за собой изменение угловой скорости вращения, а именно: с увеличением момента инерции I его угловая скорость w уменьшается и наоборот.

Справедливость закона сохранения вектора момента импульса неоднократно проверялась на ряде опытов. Например, опыт со скамьей Жуковского.

ЖУКОВСКИЙ Николай Егорович (1847-1921), русский ученый. Им сделаны крупные открытия в области механики, основоположник современной аэродинамики.

Хорошей наглядной иллюстрацией этого закона служит видеодемонстрация «Опыт с гантелями» на скамье Жуковского. Удаление или приближение гантелей к центру соответственно увеличивает или уменьшает момент инерции системы мальчик-кресло. Что по закон сохранения момента импульса уменьшает или соответственно увеличивает угловую скорость вращения кресла.

Замечание 2: закон сохранения вектора момента импульса связан с изотропностью пространства как одного из свойств симметрии пространства-времени.

Под изотропностью пространства понимается следующее. Если замкнутую систему тел повернуть в пространстве на некоторый угол (тела должны находиться в тех же условиях, что и до поворота), то это не отразится на ходе всех последующих явлений в этой системе. Используя изотропность пространства можно доказать закон сохранения вектора момента импульса.

Если система замкнута, то на нее не действуют внешние силы, а действуют только внутренние. Пусть — векторы моментов внутренних сил, действующих на м.т. системы относительно неподвижного полюса 0. Затем совершим поворот всей системы вокруг полюса на малый угол dφ , при этом направления скоростей всех м.т. должны повернуться на такой же малый угол без изменения их величины. В виду изотропности пространства момент всех внутренних сил работы не совершает. Отсюда следует, что скалярное произведение равно нулю:

независимо от величины угла . Тогда или . Следовательно, .

files.lib.sfu-kras.ru

Популярное:

  • Закон вступление в права наследства Основное содержание закона о наследстве Закон о наследстве регулирует особую процедуру, которая обусловливает переход прав и обязанностей, а также имущества умершего гражданина его родственникам или иным лицам, в том числе […]
  • Помощь юриста по автокредиту Суд по автокредиту – советы адвоката Если вы берете целевой кредит на покупку автомобиля, то купленная вами машина будет оформлена как залог. Грубо говоря, в случае невыплаты автокредита банк имеет право забрать у вас автомобиль […]
  • Бланк заявления иностранного гражданина по месту жительства Как составляется заявление иностранного гражданина или лица без гражданства о регистрации по месту жительства Житель другого государства, прибывший в РФ, должен подать в миграционную службу заявление иностранного гражданина или […]
  • Таблица штрафов гибдд 2018 страховка Новая таблица штрафов ПДД С начала 2018 года в российской дорожной системе появится множество корректировок, которые затронут и штрафы ПДД. Теперь всем участникам движения – автолюбителям и пешеходам – потребуется проявлять […]
  • Заявление на единый жилищный документ Единый жилищный документ В век информационных технологий бумажная волокита постепенно уходит в прошлое. Наша повседневная жизнь постепенно наполняется разнообразными нововведениями, призванными упростить получение справок и […]
  • Пенсия ребёнку-инвалиду в апреле Пенсия по инвалидности ребенка Государство поддерживает незащищенные слои населения различными методами: пенсиями, льготами. Дети-инвалиды имеют право на получение выплат на федеральном и региональном уровнях, однако в основном […]
  • Образец жалобы директору магазина Как и куда написать жалобу на Евросеть Если по вине магазина удовольствие от приобретения гаджета заканчивается разочарованием от его качества, покупатель имеет право вернуть покупку, обменять ее или получить обратно деньги. […]
  • Займы под расписку в вологде Займы под расписку в Вологде Предложение «займы под расписку в Вологде» — это шанс решить финансовую проблему за несколько часов. Причем речь может идти как о крупных суммах (на покупку нового автомобиля), так и о необходимости […]